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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = 9, \frac{33}{2}

x=9 , \frac{33}{2}

Forma de número mixto:

x = 9, 16 \frac{1}{2}

x=9 , 16\frac{1}{2}

Forma decimal:

x = 9, 16, 5

x=9 , 16,5

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{1}{2} x - 7 | = | \frac{1}{6} x - 4 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 7 \| = \| \frac{1}{6} x - 4 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 7 \| = \| \frac{1}{6} x - 4 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

22 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} \cdot x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{2} x - 7) - \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{1}{6} x - 4) - \frac{1}{6} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{6} \cdot x) - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(3 - 1)}{6} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{2}{6} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{6} x) - 4$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = \frac{(1 - 1)}{6} x - 4$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = \frac{0}{6} x - 4$

Reducir el numerador cero:

$\frac{1}{3} x - 7 = 0 x - 4$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{3} x - 7 = - 4$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{3} x - 7) + 7 = - 4 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{3} x = - 4 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{3} x = 3$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{1}{3} x) \cdot \frac{3}{1} = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{3} \cdot 3) x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 3)}{3} x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Simplificar la fracción:

$x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = 9$

24 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 7) = \frac{- 1}{6} x + 4$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{2} x - 7) + \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{- 1}{6} x + 4) + \frac{1}{6} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{6} \cdot x) - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(3 + 1)}{6} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{4}{6} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{(2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{1}{6} x) + 4$

Combinar las fracciones:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = \frac{(- 1 + 1)}{6} x + 4$

Combinar los numeradores:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = \frac{0}{6} x + 4$

Reducir el numerador cero:

$\frac{2}{3} x - 7 = 0 x + 4$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{2}{3} x - 7 = 4$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{2}{3} x - 7) + 7 = 4 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{2}{3} x = 4 + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{2}{3} x = 11$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{2}{3} x) \cdot \frac{3}{2} = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Simplificar la fracción:

$x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(11 \cdot 3)}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{33}{2}$

3. Lista las soluciones

$x = 9, \frac{33}{2}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{1}{2} x - 7 |$
$y = | \frac{1}{6} x - 4 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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