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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = - 24, \frac{12}{7}

x=-24 , \frac{12}{7}

Forma de número mixto:

x = - 24, 1 \frac{5}{7}

x=-24 , 1\frac{5}{7}

Forma decimal:

x = - 24, 1, 714

x=-24 , 1,714

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{1}{2} x - 3 | = | \frac{2}{3} x + 1 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 3 \| = \| \frac{2}{3} x + 1 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = - (\frac{2}{3} x + 1)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 3 \| = \| \frac{2}{3} x + 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 3) = - (\frac{2}{3} x + 1)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

21 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} \cdot x - 3) = (\frac{2}{3} x + 1)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{2} x - 3) - \frac{2}{3} \cdot x = (\frac{2}{3} x + 1) - \frac{2}{3} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 2}{3} \cdot x) - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 2}{3}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{6}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 4}{6}) x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(3 - 4)}{6} \cdot x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + 1) - \frac{2}{3} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = (\frac{2}{3} \cdot x + \frac{- 2}{3} x) + 1$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = \frac{(2 - 2)}{3} x + 1$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 3 = \frac{0}{3} x + 1$

Reducir el numerador cero:

$\frac{- 1}{6} x - 3 = 0 x + 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{6} x - 3 = 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{- 1}{6} x - 3) + 3 = 1 + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 1 + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 4$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{- 1}{6} x) \cdot \frac{6}{- 1} = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{- 1}{6} \cdot - 6) x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 6)}{6} x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$1 x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

$x = 4 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = - 24$

22 pasos adicionales

$(\frac{1}{2} x - 3) = - (\frac{2}{3} x + 1)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 3) = \frac{- 2}{3} x - 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{2} x - 3) + \frac{2}{3} \cdot x = (\frac{- 2}{3} x - 1) + \frac{2}{3} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{2}{3} \cdot x) - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(2 \cdot 2)}{6}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{4}{6}) x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(3 + 4)}{6} \cdot x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x - 1) + \frac{2}{3} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = (\frac{- 2}{3} \cdot x + \frac{2}{3} x) - 1$

Combinar las fracciones:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = \frac{(- 2 + 2)}{3} x - 1$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{6} \cdot x - 3 = \frac{0}{3} x - 1$

Reducir el numerador cero:

$\frac{7}{6} x - 3 = 0 x - 1$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{6} x - 3 = - 1$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{7}{6} x - 3) + 3 = - 1 + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{6} x = - 1 + 3$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{6} x = 2$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{7}{6} x) \cdot \frac{6}{7} = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}) x = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 6)}{(6 \cdot 7)} x = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Simplificar la fracción:

$x = 2 \cdot \frac{6}{7}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(2 \cdot 6)}{7}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{12}{7}$

3. Lista las soluciones

$x = - 24, \frac{12}{7}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{1}{2} x - 3 |$
$y = | \frac{2}{3} x + 1 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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