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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = 4, - 2

x=4 , -2

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{1}{10} x + \frac{1}{2} | = | \frac{1}{5} x + \frac{1}{10} |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{10} x + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{5} x + \frac{1}{10} \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$
$x = - y$	$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$
$+ x = y$	$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$
$- x = y$	$- (\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{10} x + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{5} x + \frac{1}{10} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

31 pasos adicionales

$(\frac{1}{10} \cdot x + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{5} \cdot x = (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{10} \cdot x + \frac{- 1}{5} \cdot x) + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{10} + \frac{- 1}{5}) x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{1}{10} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{1}{10} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{10}) x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{1}{10} + \frac{- 2}{10}) x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(1 - 2)}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10}) - \frac{1}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{- 1}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = (\frac{1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{5} x) + \frac{1}{10}$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = \frac{(1 - 1)}{5} x + \frac{1}{10}$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = \frac{0}{5} x + \frac{1}{10}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{- 1}{10} x + \frac{1}{2} = 0 x + \frac{1}{10}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{10} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{- 1}{10} x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{1}{10}) - \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{10} x + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{1}{10}) - \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{10} x + \frac{0}{2} = (\frac{1}{10}) - \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{- 1}{10} x + 0 = (\frac{1}{10}) - \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{10} x = (\frac{1}{10}) - \frac{1}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{1}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}$

Multiplicar los denominadores:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{1}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}$

Multiplicar los numeradores:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{1}{10} + \frac{- 5}{10}$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{(1 - 5)}{10}$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{- 4}{10}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{(- 2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{- 1}{10} x = \frac{- 2}{5}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{- 1}{10} x) \cdot \frac{10}{- 1} = (\frac{- 2}{5}) \cdot \frac{10}{- 1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{- 1}{10} \cdot - 10) x = (\frac{- 2}{5}) \cdot \frac{10}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 10)}{10} x = (\frac{- 2}{5}) \cdot \frac{10}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$1 x = (\frac{- 2}{5}) \cdot \frac{10}{- 1}$

$x = (\frac{- 2}{5}) \cdot \frac{10}{- 1}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 2 \cdot - 10)}{5}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = 4$

31 pasos adicionales

$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{5} x + \frac{1}{10})$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{1}{10} \cdot x + \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{5} x + \frac{- 1}{10}$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot x = (\frac{- 1}{5} x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{10} \cdot x + \frac{1}{5} \cdot x) + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{10} + \frac{1}{5}) x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{1}{10} + \frac{(1 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{1}{10} + \frac{(1 \cdot 2)}{10}) x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{1}{10} + \frac{2}{10}) x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(1 + 2)}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{- 1}{10}) + \frac{1}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{5} \cdot x + \frac{1}{5} x) + \frac{- 1}{10}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{5} x + \frac{- 1}{10}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{1}{2} = \frac{0}{5} x + \frac{- 1}{10}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{10} x + \frac{1}{2} = 0 x + \frac{- 1}{10}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{10} x + \frac{1}{2} = \frac{- 1}{10}$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{3}{10} x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{10}) - \frac{1}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{10} x + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{- 1}{10}) - \frac{1}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} x + \frac{0}{2} = (\frac{- 1}{10}) - \frac{1}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{3}{10} x + 0 = (\frac{- 1}{10}) - \frac{1}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{3}{10} x = (\frac{- 1}{10}) - \frac{1}{2}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$\frac{3}{10} x = \frac{- 1}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}$

Multiplicar los denominadores:

$\frac{3}{10} x = \frac{- 1}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}$

Multiplicar los numeradores:

$\frac{3}{10} x = \frac{- 1}{10} + \frac{- 5}{10}$

Combinar las fracciones:

$\frac{3}{10} x = \frac{(- 1 - 5)}{10}$

Combinar los numeradores:

$\frac{3}{10} x = \frac{- 6}{10}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$\frac{3}{10} x = \frac{(- 3 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$\frac{3}{10} x = \frac{- 3}{5}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{3}{10} x) \cdot \frac{10}{3} = (\frac{- 3}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3}) x = (\frac{- 3}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 10)}{(10 \cdot 3)} x = (\frac{- 3}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Simplificar la fracción:

$x = (\frac{- 3}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 3 \cdot 10)}{(5 \cdot 3)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = - 2$

3. Lista las soluciones

$x = 4, - 2$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{1}{10} x + \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{5} x + \frac{1}{10} |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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