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Solución - Secuencias geométricas

La razón común es:

r = 0, 5

r=0,5

La suma de esta serie es:

s = 60

s=60

La fórmula general de esta serie es:

a_{n} = 32 \cdot 0, 5^{n - 1}

a_n=32*0,5^(n-1)

El enésimo término de esta serie es:

32, 16, 8, 4, 2, 1, 0, 5, 0, 25, 0, 125, 0, 0625

32,16,8,4,2,1,0,5,0,25,0,125,0,0625

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Explicación paso a paso

1. Averiguar la razón común

Averigua la razón común dividiendo cualquier término de la secuencia por el término anterior a él:

$a_{2} a_{1} = \frac{16}{32} = 0, 5$

$a_{3} a_{2} = \frac{8}{16} = 0, 5$

$a_{4} a_{3} = \frac{4}{8} = 0, 5$

La razón común ( $r$ ) de la secuencia es constante e igual al cociente entre dos términos consecutivos.
$r = 0, 5$

2. Averiguar la suma

5 pasos adicionales

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para averiguar la suma de la serie, introduce el primer término: $a = 32$ , la razón común: $r = 0, 5$ y el número de elementos $n = 4$ en la fórmula de la suma de una serie geométrica:

$s_{4} = 32 * ((1 - 0, 5^{4}) / (1 - 0, 5))$

$s_{4} = 32 * ((1 - 0, 0625) / (1 - 0, 5))$

$s_{4} = 32 * (0, 9375 / (1 - 0, 5))$

$s_{4} = 32 * (0, 9375 / 0, 5)$

$s_{4} = 32 \cdot 1.875$

$s_{4} = 60$

3. Averiguar la fórmula general

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para averiguar la fórmula general de la serie, introduce el primer término: $a = 32$ y la razón común: $r = 0, 5$ en la fórmula de la serie geométrica:

$a_{n} = 32 \cdot 0, 5^{n - 1}$

4. Averiguar el enésimo término

Utiliza la fórmula general para averiguar el enésimo término

$a_{1} = 32$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{2 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{1} = 32 \cdot 0, 5 = 16$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{3 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{2} = 32 \cdot 0, 25 = 8$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{4 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{3} = 32 \cdot 0, 125 = 4$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{5 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{4} = 32 \cdot 0, 0625 = 2$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{6 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{5} = 32 \cdot 0, 03125 = 1$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{7 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{6} = 32 \cdot 0, 015625 = 0, 5$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{8 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{7} = 32 \cdot 0, 0078125 = 0, 25$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{9 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{8} = 32 \cdot 0, 00390625 = 0, 125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 32 \cdot 0, 5^{10 - 1} = 32 \cdot 0, 5^{9} = 32 \cdot 0, 001953125 = 0, 0625$

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Las secuencias geométricas se utilizan comúnmente para explicar conceptos en matemáticas, física, ingeniería, biología, economía, informática, finanzas y más, lo que las convierte en una herramienta muy útil para tener en nuestros kits de herramientas. Una de las aplicaciones más comunes de las secuencias geométricas, por ejemplo, es el cálculo de interés compuesto ganado o no pagado, una actividad generalmente asociada con las finanzas que podría significar ganar o perder mucho dinero. Otras aplicaciones incluyen, pero sin duda no se limitan a, el cálculo de la probabilidad, la medición de la radiactividad a lo largo del tiempo y el diseño de edificios.

Conceptos y temas

Secuencias geométricas