Solución - Propiedades de las elipses

$$h$$ representa el desplazamiento en x desde el origen.
$$k$$ representa el desplazamiento en y desde el origen.
Para encontrar los valores de $$h$$ y $$k$$, utiliza la forma estándar de la elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Centro: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ representa el radio más largo de la elipse, que es igual a la mitad del eje mayor.
A esto se le llama el semieje mayor.
Para encontrar el valor de $$a$$, utiliza la forma estándar de la elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$
$$a^2=2$$
Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$$a=1,414$$

Porque $$a$$ representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse vertical, el eje mayor corre paralelo al eje y y pasa por los vértices de la elipse. Encuentra los vértices sumando y restando $$a$$ de la coordenada y ($$k$$) del centro.

Para encontrar el vértice_1, suma $$a$$ a la coordenada y ($$k$$) del centro:
Vértice_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=1.414$$
Vértice_1: $$\left(0,0+1.414\right)$$
Vértice_1: $$\left(0;1.414\right)$$

Para encontrar el vértice_2, resta $$a$$ a la coordenada y ($$k$$) del centro:
Vértice_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=1,414$$
Vértice_2: $$\left(0,0-1,414\right)$$
Vértice_2: $$\left(0;-1,414\right)$$

$$b$$ representa el radio menor de la elipse, que es igual a la mitad del eje menor. Esto se llama el semi-eje menor.
Para encontrar el valor de $$b$$, utiliza la forma estándar de la elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$
$$b^2=\frac{1}{42}$$
Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$$b=0,154$$
Como b representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse vertical, el eje menor se ejecuta paralelo al eje x y pasa a través de los co-vértices de la elipse.
Encuentre los co-vértices sumando y restando $$b$$ a la coordenada x ($$h$$) del centro.

Para encontrar el co-vértice_1, añade $$b$$ a la coordenada x ($$h$$) del centro:
Co-vértice_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0,154$$
Co-vértice_1: $$\left(0+0,154,0\right)$$
Co-vértice_1: $$\left(0,154;0\right)$$

Para encontrar el co-vértice_2, resta $$b$$ de la coordenada x ($$h$$) del centro:
Co-vértice_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0,154$$
Co-vértice_2: $$\left(0-0,154,0\right)$$
Co-vértice_2: $$\left(-0,154;0\right)$$

La longitud focal es la distancia desde el centro de la elipse hasta cada punto focal y suele representarse por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, utiliza la fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=2$$
$$b^2=\frac{1}{42}$$
Inserta $$a^2$$ y $$b^2$$ en la fórmula y simplifica:

$$f=\sqrt{2-\frac{1}{42}}$$

$$f=\sqrt{\frac{83}{42}}$$

$$f=1,406$$

Porque $$f$$ representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse vertical, el eje mayor se ejecuta paralelo al eje y y pasa a través de los focos.
Encuentra los focos sumando y restando $$f$$ de la coordenada y $$\left(k\right)$$ del centro.

Para encontrar el foco_1, suma $$f$$ a la coordenada y $$\left(k\right)$$ del centro:
Foco_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1,406$$
Foco_1: $$\left(0,0+1,406\right)$$
Foco_1: $$\left(0;1,406\right)$$

Para encontrar focus_2, resta $$f$$ de la coordenada y $$\left(k\right)$$ del centro:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1,406$$
Focus_2: $$\left(0,0-1,406\right)$$
Focus_2: $$\left(0;-1,406\right)$$

Utiliza la fórmula para el área de una elipse para encontrar el área de la elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=1,414$$
$$b=0,154$$
Sustituye $$a$$ y $$b$$ en la fórmula y simplifica:

$$\pi ·1,414·0,154$$

$$\pi ·0,218$$

El área es igual a $$0,218\pi$$

Para encontrar la(s) intersección(es) x-, sustituye $$0$$ por $$y$$ en la ecuación estándar de la elipse y resuelve la ecuación cuadrática resultante para $$x$$.
Haz clic aquí para obtener una explicación paso a paso de la ecuación cuadrática.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{0^2}{2}=1$$

$$x_1=0,154$$

$$x_2=-0,154$$

Para encontrar la(s) intersección(es) y-, sustituye $$0$$ por $$x$$ en la ecuación estándar de la elipse y resuelve la ecuación cuadrática resultante para $$y$$.
Haz clic aquí para obtener una explicación paso a paso de la ecuación cuadrática.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$

$$y_1=1,414$$

$$y_2=-1,414$$

Para encontrar la excentricidad, utiliza la fórmula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=2$$
$$b^2=\frac{1}{42}$$
$$a=1,414$$
Sustituye $$a^2$$, $$b^2$$ y $$a$$ en la fórmula:

$$\frac{\sqrt{2-\frac{1}{42}}}{1,414}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{83}{42}}}{1,414}$$

$$\frac{1,406}{1,414}$$

$$0,994$$

La excentricidad es igual a $$0,994$$