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Solución - Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i

x_1=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}\cdoti

x_{2} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i

x_2=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}\cdoti

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Identifica los coeficientes

Usa la forma estándar de una ecuación cuadrática, $a x^{2} + b x + c = 0$ , para encontrar los coeficientes:

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$a = 3$
$b = - 2$
$c = 1$

2. Haz que el coeficiente a sea igual a 1

Debido a que $a = 3$ , divide todos los coeficientes y constantes en ambos lados de la ecuación por $3$ :

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$\frac{3}{3} x^{2} - 2 \frac{x}{3} + \frac{1}{3} = \frac{0}{3}$

Simplificar la expresión

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} = 0$

Los coeficientes son:
$a = 1$
$b = - \frac{2}{3}$
$c = \frac{1}{3}$

3. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación y combina

Añade $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación:

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 - \frac{1}{3}$

$x^{2} - \frac{2}{3} x = - \frac{1}{3}$

4. Completa el cuadrado

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a ${(\frac{b}{2})}^{2}$ a la ecuación:

$b = - \frac{2}{3}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{2}{3}}{2})}^{2}$

Usa la regla de los exponentes fraccionarios ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{2}{3}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{4}{9}}{4}$

$\frac{\frac{4}{9}}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{9}$

Añade $\frac{1}{9}$ a ambos lados de la ecuación:

5 pasos adicionales

$x^{2} - \frac{2}{3} x = - \frac{1}{3}$

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Averiguar el mínimo denominador común:

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = \frac{(- 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 3)} + \frac{1}{9}$

Multiplicar los denominadores:

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = \frac{(- 1 \cdot 3)}{9} + \frac{1}{9}$

Multiplicar los numeradores:

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = \frac{- 3}{9} + \frac{1}{9}$

Combinar las fracciones:

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = \frac{(- 3 + 1)}{9}$

Combinar los numeradores:

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = \frac{- 2}{9}$

Ahora tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto añadiendo la mitad del coeficiente $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{2}{3}$

2 pasos adicionales

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Simplificar la división:

$\frac{b}{2} = \frac{- 2}{(3 \cdot 2)}$

Cancelar términos:

$\frac{b}{2} = \frac{- 1}{3}$

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = \frac{- 2}{9}$

${(x - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{2}{9}$

5. Resuelve para $x$

Encuentra la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al encontrar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

${(x - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{2}{9}$

$\sqrt{{(x - \frac{1}{3})}^{2}} = \sqrt{- \frac{2}{9}}$

Cancela el cuadrado y la raíz cuadrada en el lado izquierdo de la ecuación:

$x - \frac{1}{3} = \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}$

Sumar $\frac{1}{3}$ a ambos lados

$x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}$

Simplificar el lado izquierdo

$x = \frac{1}{3} \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}$

La raíz cuadrada de un número negativo no existe entre el conjunto de los Números Reales. Introducimos el número imaginario "i", que es la raíz cuadrada de uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$x = \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt{- 1}$

$x = \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9}} \cdot i$

$x = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} \cdot i$

$x = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i$

$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i$
$x_{2} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i$

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

En su función más básica, las ecuaciones cuadráticas definen formas como círculos, elipses y parábolas. Estas formas a su vez pueden usarse para predecir la curva de un objeto en movimiento, como un balón pateado por un jugador de fútbol o disparado desde un cañón.
Cuando se trata del movimiento de un objeto a través del espacio, ¿qué mejor lugar para empezar que el espacio mismo, con la revolución de los planetas alrededor del sol en nuestro sistema solar? La ecuación cuadrática se utilizó para establecer que las órbitas de los planetas son elípticas, no circulares. Determinar la ruta y la velocidad a la que un objeto se desplaza por el espacio es posible incluso después de que se ha detenido: la ecuación cuadrática puede calcular cuán rápido se movía un vehículo cuando chocó. Con información como esta, la industria automotriz puede diseñar frenos para prevenir colisiones en el futuro. Muchas industrias utilizan la ecuación cuadrática para predecir y por lo tanto mejorar la vida útil y seguridad de sus productos.

Conceptos y temas

Resolver ecuaciones de segundo grado completando el cuadrado