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Solución - Resolver las desigualdades cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Notación de intervalo - Sin raíces reales:

y \in (- \infty, \infty)

y∈(-∞,∞)

Solución:

y_{1} = \frac{10}{49} + \frac{2}{49} i \cdot \sqrt{955}, y_{2} = \frac{10}{49} + \frac{- 2}{49} i \cdot \sqrt{955}

y_{1}=\frac{10}{49}+\frac{2}{49}i\cdot\sqrt{955} , y_{2}=\frac{10}{49}+\frac{-2}{49}i\cdot\sqrt{955}

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Determinar los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ de la desigualdad cuadrática

Los coeficientes de nuestra desigualdad, $49 y^{2} - 20 y + 80 \geq 0$ , son:

$a$ = 49

$b$ = -20

$c$ = 80

2. Introducir estos coeficientes en la fórmula cuadrática

Para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, introduce sus coeficientes ( $a$ , $b$ y $c$ ) en la fórmula cuadrática:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 49$
$b = - 20$
$c = 80$

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (- 20^{2} - 4 * 49 * 80)) / (2 * 49)$

Simplificar exponentes y raíces cuadradas

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (400 - 4 * 49 * 80)) / (2 * 49)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (400 - 196 * 80)) / (2 * 49)$

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (400 - 15680)) / (2 * 49)$

Calcular cualquier adición o substracción, de izquierda a derecha.

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (- 15280)) / (2 * 49)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (- 15280)) / (98)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$y = (20 \pm s q r t (- 15280)) / 98$

para obtener el resultado:

$y = (20 \pm s q r t (- 15280)) / 98$

3. Simplificar raíces cuadradas $\sqrt{(- 15280)}$

Simplificar $- 15280$ determinando sus factores primos:

La factorización en primos de $- 15280$ es $4 i \cdot \sqrt{955}$

La raíz cuadrada de un número negativo no existe entre el conjunto de los Números Reales. Introducimos el número imaginario "i", que es la raíz cuadrada de uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 15280} = \sqrt{(- 1) \cdot 15280}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 15280} = i \sqrt{15280}$

Escribir los factores primos:

$i \sqrt{15280} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 191}$

Agrupar los factores primos en pares y rescribirlos en forma de exponente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 191} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5 \cdot 191}$

Usar la regla $\sqrt{(x^{2})} = x$ para continuar simplificando:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5 \cdot 191} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191}$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191} = 4 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191}$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$4 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191} = 4 i \cdot \sqrt{955}$

4. Resolver la ecuación para y

$y = (20 \pm 4 i * s q r t (955)) / 98$

El ± significa que son posibles dos raíces.

Separar las ecuaciones: $y_{1} = (20 + 4 i * s q r t (955)) / 98$ y $y_{2} = (20 - 4 i * s q r t (955)) / 98$

3 pasos adicionales

$y_{1} = \frac{(20 + 4 i \cdot \sqrt{955})}{98}$

Fragmentar la fracción:

$y_{1} = \frac{20}{98} + \frac{4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$y_{1} = \frac{(10 \cdot 2)}{(49 \cdot 2)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$y_{1} = \frac{10}{49} + \frac{4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Simplificar la fracción:

$y_{1} = \frac{10}{49} + \frac{2}{49} i \cdot \sqrt{955}$

3 pasos adicionales

$y_{2} = \frac{(20 - 4 i \cdot \sqrt{955})}{98}$

Fragmentar la fracción:

$y_{2} = \frac{20}{98} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Averiguar el máximo común divisor del numerador y el denominador:

$y_{2} = \frac{(10 \cdot 2)}{(49 \cdot 2)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Descomponer y cancelar el máximo común divisor:

$y_{2} = \frac{10}{49} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Simplificar la fracción:

$y_{2} = \frac{10}{49} + \frac{- 2}{49} i \cdot \sqrt{955}$

5. Averiguar los intervalos

Parte discriminante de la fórmula cuadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ No hay raíces reales.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Hay una raíz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Hay dos raíces reales.

La función de desigualdad no tiene raíces reales, la parábola no se cruza con el eje x. La fórmula cuadrática requiere sacar la raíz cuadrada, y la raíz cuadrada de un número negativo no está definida sobre la línea real.

El intervalo es $(- \infty, \infty)$

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Mientras que las ecuaciones cuadráticas expresan las trayectorias de los arcos y de los puntos a lo largo de ellos, las desigualdades cuadráticas expresan las áreas dentro y fuera de estos arcos y los rangos que cubren. En otras palabras, si las ecuaciones cuadráticas nos dicen dónde está el límite, las desigualdades cuadráticas nos ayudan a entender en qué debemos centrarnos en relación con ese límite. En la práctica, las desigualdades cuadráticas se utilizan para crear algoritmos complejos que alimentan potentes programas informáticos y para realizar el seguimiento de cómo evolucionan los cambios, como los precios en el supermercado, a lo largo del tiempo.

Conceptos y temas

Desigualdades cuadráticas

Solución - Resolver las desigualdades cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Explicación paso a paso

1. Determinar los coeficientes a, b y c de la desigualdad cuadrática

2. Introducir estos coeficientes en la fórmula cuadrática

3. Simplificar raíces cuadradas (−15280)

4. Resolver la ecuación para y

5. Averiguar los intervalos

Para qué aprender esto

Conceptos y temas

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