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Solución - Resolver las desigualdades cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Notación de intervalo - Sin raíces reales:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solución:

x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{19}}{2}, x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{19}}{2}

x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{-i\sqrt{19}}{2} , x_{2}=\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{19}}{2}

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Simplificar la expresión

13 pasos adicionales

$2 - x^{2} > = x + 7$

Sustraer {x}^{2} en ambos lados:

$(2 - x^{2}) - x > = (x + 7) - x$

Agrupar términos semejantes:

$(2 - x^{2}) - x > = (x - x) + 7$

Simplificar la expresión aritmética:

$(2 - x^{2}) - x > = 7$

Sustraer {x}^{2} en ambos lados:

$((2 - x^{2}) - x) - (2 - x^{2}) > = 7 - (2 - x^{2})$

Desarrollar los paréntesis:

$2 - x^{2} - x - 2 + x^{2} > = 7 - (2 - x^{2})$

Agrupar términos semejantes:

$(- x^{2} + x^{2}) - x + (2 - 2) > = 7 - (2 - x^{2})$

Simplificar la expresión aritmética:

$0 x^{2} - x > = 7 - (2 - x^{2})$

$- x > = 7 - (2 - x^{2})$

Desarrollar los paréntesis:

$- x > = 7 - 2 + x^{2}$

Agrupar términos semejantes:

$- x > = x^{2} + (7 - 2)$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x > = x^{2} + 5$

Sustraer {x}^{2} en ambos lados:

$- x - x^{2} > = (x^{2} + 5) - x^{2}$

Agrupar términos semejantes:

$- x - x^{2} > = (x^{2} - x^{2}) + 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$- x - x^{2} > = 5$

Simplificar la desigualdad cuadrática a su forma estándar

$a x^{2} + b x + c \geq 0$

Substraer $5$ de ambos lados de la desigualdad:

$- 1 x^{2} - 1 x \geq 5$

Sustraer $5$ de ambos lados:

$- 1 x^{2} - 1 x - 5 \geq 5 - 5$

Simplificar la expresión

$- 1 x^{2} - 1 x - 5 \geq 0$

2. Determinar los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ de la desigualdad cuadrática

Los coeficientes de nuestra desigualdad, $- 1 x^{2} - 1 x - 5 \geq 0$ , son:

$a$ = -1

$b$ = -1

$c$ = -5

3. Introducir estos coeficientes en la fórmula cuadrática

Para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, introduce sus coeficientes ( $a$ , $b$ y $c$ ) en la fórmula cuadrática:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = - 1$
$c = - 5$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 1^{2} - 4 * - 1 * - 5)) / (2 * - 1)$

Simplificar exponentes y raíces cuadradas

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 4 * - 1 * - 5)) / (2 * - 1)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - - 4 * - 5)) / (2 * - 1)$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 20)) / (2 * - 1)$

Calcular cualquier adición o substracción, de izquierda a derecha.

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 19)) / (2 * - 1)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 19)) / (- 2)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x = (1 \pm s q r t (- 19)) / (- 2)$

para obtener el resultado:

$x = (1 \pm s q r t (- 19)) / (- 2)$

4. Simplificar raíces cuadradas $\sqrt{(- 19)}$

Simplificar $- 19$ determinando sus factores primos:

La factorización en primos de $- 19$ es $i \sqrt{19}$

La raíz cuadrada de un número negativo no existe entre el conjunto de los Números Reales. Introducimos el número imaginario "i", que es la raíz cuadrada de uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 19} = \sqrt{(- 1) \cdot 19}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 19} = i \sqrt{19}$

Escribir los factores primos:

$i \sqrt{19} = i \sqrt{19}$

5. Resolver la ecuación para x

$x = (1 \pm i s q r t (19)) / (- 2)$

El ± significa que son posibles dos raíces.

Separar las ecuaciones: $x_{1} = (1 + i s q r t (19)) / (- 2)$ y $x_{2} = (1 - i s q r t (19)) / (- 2)$

2 pasos adicionales

$x_{1} = \frac{(1 + i \sqrt{19})}{- 2}$

Mueve el signo negativo del denominador al numerador:

$x_{1} = \frac{- (1 + i \sqrt{19})}{2}$

Desarrollar los paréntesis:

$x_{1} = \frac{(- 1 - i \sqrt{19})}{2}$

Fragmentar la fracción:

$x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{19}}{2}$

2 pasos adicionales

$x_{2} = \frac{(1 - i \sqrt{19})}{- 2}$

Mueve el signo negativo del denominador al numerador:

$x_{2} = \frac{- (1 - i \sqrt{19})}{2}$

Desarrollar los paréntesis:

$x_{2} = \frac{(- 1 + i \sqrt{19})}{2}$

Fragmentar la fracción:

$x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{19}}{2}$

6. Averiguar los intervalos

Parte discriminante de la fórmula cuadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ No hay raíces reales.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Hay una raíz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Hay dos raíces reales.

La función de desigualdad no tiene raíces reales, la parábola no se cruza con el eje x. La fórmula cuadrática requiere sacar la raíz cuadrada, y la raíz cuadrada de un número negativo no está definida sobre la línea real.

El intervalo es $(- \infty, \infty)$

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Mientras que las ecuaciones cuadráticas expresan las trayectorias de los arcos y de los puntos a lo largo de ellos, las desigualdades cuadráticas expresan las áreas dentro y fuera de estos arcos y los rangos que cubren. En otras palabras, si las ecuaciones cuadráticas nos dicen dónde está el límite, las desigualdades cuadráticas nos ayudan a entender en qué debemos centrarnos en relación con ese límite. En la práctica, las desigualdades cuadráticas se utilizan para crear algoritmos complejos que alimentan potentes programas informáticos y para realizar el seguimiento de cómo evolucionan los cambios, como los precios en el supermercado, a lo largo del tiempo.

Conceptos y temas

Desigualdades cuadráticas

Solución - Resolver las desigualdades cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Explicación paso a paso

1. Simplificar la expresión

2. Determinar los coeficientes a, b y c de la desigualdad cuadrática

3. Introducir estos coeficientes en la fórmula cuadrática

4. Simplificar raíces cuadradas (−19)

5. Resolver la ecuación para x

6. Averiguar los intervalos

Para qué aprender esto

Conceptos y temas

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