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Introduce una ecuación o un problema

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a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

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1

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abc

a

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w

x

y

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␣

.

Solución - Resolver las desigualdades cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Solución:

6 < x < 18

6<x<18

Notación de intervalo:

x \in (6; 18)

x∈(6;18)

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Simplificar la expresión

14 pasos adicionales

$- 2 x^{2} + 36 x > (x - 18) \cdot (x - 18)$

Desarrollar los paréntesis:

$- 2 x^{2} + 36 x > x \cdot (x - 18) - 18 \cdot (x - 18)$

$- 2 x^{2} + 36 x > x \cdot x + x \cdot - 18 - 18 \cdot (x - 18)$

Simplificar la expresión aritmética:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} + x \cdot - 18 - 18 \cdot (x - 18)$

Desarrollar los paréntesis:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 18 x - 18 x - 18 \cdot - 18$

Simplificar la expresión aritmética:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 18 x - 18 x + 324$

Combinar los términos semejantes:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 36 x + 324$

Sumar $x^{2}$ a ambos lados:

$(- 2 x^{2} + 36 x) + 36 x > (x^{2} - 36 x + 324) + 36 x$

Simplificar la expresión aritmética:

$- 2 x^{2} + 72 x > (x^{2} - 36 x + 324) + 36 x$

Agrupar términos semejantes:

$- 2 x^{2} + 72 x > x^{2} + (- 36 x + 36 x) + 324$

Simplificar la expresión aritmética:

$- 2 x^{2} + 72 x > x^{2} + 324$

Sustraer {x}^{2} en ambos lados:

$(- 2 x^{2} + 72 x) - x^{2} > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Agrupar términos semejantes:

$(- 2 x^{2} - x^{2}) + 72 x > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$- 3 x^{2} + 72 x > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Agrupar términos semejantes:

$- 3 x^{2} + 72 x > (x^{2} - x^{2}) + 324$

Simplificar la expresión aritmética:

$- 3 x^{2} + 72 x > 324$

Simplificar la desigualdad cuadrática a su forma estándar

$a x^{2} + b x + c > 0$

Substraer $324$ de ambos lados de la desigualdad:

$- 3 x^{2} + 72 x > 324$

Sustraer $324$ de ambos lados:

$- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 324 - 324$

Simplificar la expresión

$- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$

2. Determinar los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ de la desigualdad cuadrática

Los coeficientes de nuestra desigualdad, $- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$ , son:

$a$ = -3

$b$ = 72

$c$ = -324

3. Introducir estos coeficientes en la fórmula cuadrática

Para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, introduce sus coeficientes ( $a$ , $b$ y $c$ ) en la fórmula cuadrática:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 3$
$b = 72$
$c = - 324$

$x = (- 72 \pm s q r t (72^{2} - 4 * - 3 * - 324)) / (2 * - 3)$

Simplificar exponentes y raíces cuadradas

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - 4 * - 3 * - 324)) / (2 * - 3)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - - 12 * - 324)) / (2 * - 3)$

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - 3888)) / (2 * - 3)$

Calcular cualquier adición o substracción, de izquierda a derecha.

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (2 * - 3)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (- 6)$

para obtener el resultado:

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (- 6)$

4. Simplificar raíces cuadradas $\sqrt{(1296)}$

Simplificar $1296$ determinando sus factores primos:

Árbol de factores primos de <math>1296</math>:

La factorización en primos de $1296$ es $2^{4} \cdot 3^{4}$

Escribir los factores primos:

$\sqrt{1296} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar los factores primos en pares y rescribirlos en forma de exponente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}}$

Usar la regla $\sqrt{(x^{2})} = x$ para continuar simplificando:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 3 \cdot 3$

$4 \cdot 3 \cdot 3 = 12 \cdot 3$

$12 \cdot 3 = 36$

5. Resolver la ecuación para x

$x = (- 72 \pm 36) / (- 6)$

El ± significa que son posibles dos raíces.

Separar las ecuaciones: $x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$ y $x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

$x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$

Calcular cualquier adición o substracción, de izquierda a derecha.

$x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$

$x_{1} = (- 36) / (- 6)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x_{1} = - \frac{36}{-} 6$

$x_{1} = 6$

$x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

Calcular cualquier adición o substracción, de izquierda a derecha.

$x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

$x_{2} = (- 108) / (- 6)$

Realizar cualquier multiplicación o división, de izquierda a derecha:

$x_{2} = - \frac{108}{-} 6$

$x_{2} = 18$

6. Averiguar los intervalos

Para hallar los intervalos de una desigualdad cuadrática, lo primero que tenemos que hacer es averiguar su parábola.

Las raíces de la parábola (donde se cruza con el eje x) son: 6, 18.

Como el coeficiente $a$ es negativo ( $a$ =-3), esto es una desigualdad cuadrática “negativa” y la parábola apunta hacia abajo, como un paraguas.

Si el signo de la desigualdad es ≤ o ≥, entonces los intervalos incluyen las raíces y utilizamos una línea continua. Si el signo de la desigualdad es < o >, los intervalos no incluyen las raíces y utilizamos una línea discontinua.

7. Seleccionar el intervalo correcto (solución)

Como $- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$ tiene un signo de desigualdad $>$ , buscamos los intervalos de la parábola que están por encima del eje x.

Solución:

Notación del intervalo:

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Mientras que las ecuaciones cuadráticas expresan las trayectorias de los arcos y de los puntos a lo largo de ellos, las desigualdades cuadráticas expresan las áreas dentro y fuera de estos arcos y los rangos que cubren. En otras palabras, si las ecuaciones cuadráticas nos dicen dónde está el límite, las desigualdades cuadráticas nos ayudan a entender en qué debemos centrarnos en relación con ese límite. En la práctica, las desigualdades cuadráticas se utilizan para crear algoritmos complejos que alimentan potentes programas informáticos y para realizar el seguimiento de cómo evolucionan los cambios, como los precios en el supermercado, a lo largo del tiempo.

Conceptos y temas

Desigualdades cuadráticas

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