Calculadora Tiger Algebra
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es una ecuación que representa una línea recta. Normalmente tiene constantes y variables, las cuales no pueden contener exponentes o raíces, y se suele escribir de las siguientes maneras:
Forma de punto-pendiente
Por ejemplo:
Forma de pendiente-intercepto
Por ejemplo:
Forma estándar
Por ejemplo:
Importante: En esta forma, y no pueden ser ambos cero ().
Aunque estas ecuaciones pueden parecer diferentes, todas representan la misma línea. Si tienes acceso a una calculadora gráfica, prueba graficar cada ecuación y comparar los resultados. ¡Las gráficas serán todas las mismas!
Sistemas de ecuaciones lineales
A veces se nos dan dos o más ecuaciones que pueden ser verdaderas para las mismas variables.
Por ejemplo:
Cuando y , ambas ecuaciones son verdaderas.
A estos se les llama sistemas de ecuaciones lineales y podemos encontrar sus variable(s) usando uno de dos métodos: eliminación y sustitución.
Resolución por eliminación
Pasos principales para resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación:
1. Reescribe las ecuaciones de manera que las variables estén en el mismo orden:
se convertirían en
2. Multiplica una o ambas ecuaciones por números no nulos que harían que un conjunto de términos se cancelara si se suman o restan:
se convertirían en
3. Suma o resta las ecuaciones para eliminar su variable común:
4. Resuelve la ecuación para aislar la variable restante:
5. Introduce esta variable en una de las ecuaciones originales y simplifica para aislar la variable restante:
Las variables que satisfacen ambas ecuaciones son y o
6. Repite lo necesario, como cuándo hay más de dos ecuaciones lineales en el sistema.
Resolución por sustitución
Pasos principales para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución:
1. Resuelve o en una de las ecuaciones aislando la variable:
2. Introduce la variable resultante en la otra ecuación y resuelve:
3. Introduce la variable resultante en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelve:
Las variables que satisfacen ambas ecuaciones son y o
4. Repite lo necesario, como cuándo hay más de dos ecuaciones lineales en el sistema.
Existen tres tipos de soluciones posibles para sistemas de ecuaciones lineales:
Sin solución : No hay variables que harían que todas las ecuaciones en el sistema sean verdaderas. En un gráfico, las líneas que representan las ecuaciones no se tocan. Si son ecuaciones lineales, estas líneas se ejecutarían paralelas entre sí.
Una solución : Existe un conjunto de variables que haría que todas las ecuaciones en el sistema sean verdaderas. En un gráfico, las líneas que representan las ecuaciones se cruzan una vez. El punto donde se cruzan es la solución al sistema.
Soluciones infinitas : Existe un número infinito de variables que harían que todas las ecuaciones en los sistemas sean verdaderas. Esto ocurre cuando todas las ecuaciones en el sistema son las mismas o son variaciones de la misma ecuación y, por lo tanto, representan la misma línea.
Otros términos relevantes:
Ecuaciones consistentes : dos o más ecuaciones son consistentes cuando comparten una o infinitas soluciones. Por ejemplo: y son consistentes porque comparten una solución .
Ecuaciones inconsistentes : dos o más ecuaciones son inconsistentes cuando no comparten ninguna solución, lo que significa que sus líneas no tienen puntos en común. Las líneas de ecuaciones inconsistentes corren paralelas entre sí. Por ejemplo: y son inconsistentes porque tiene un valor diferente en cada ecuación, lo que significa que las ecuaciones no comparten ninguna solución.
Ecuaciones independientes : dos o más ecuaciones son independientes cuando representan líneas diferentes.
Ecuaciones dependientes : dos o más ecuaciones son dependientes cuando representan la misma línea, dando cada ecuación soluciones infinitas. Las ecuaciones dependientes ocurren cuando una ecuación está escrita en diferentes formas. Por ejemplo: y representan la misma línea y, por lo tanto, son dependientes.
Una ecuación lineal es una ecuación que representa una línea recta. Normalmente tiene constantes y variables, las cuales no pueden contener exponentes o raíces, y se suele escribir de las siguientes maneras:
Forma de punto-pendiente
Por ejemplo:
Forma de pendiente-intercepto
Por ejemplo:
Forma estándar
Por ejemplo:
Importante: En esta forma, y no pueden ser ambos cero ().
Aunque estas ecuaciones pueden parecer diferentes, todas representan la misma línea. Si tienes acceso a una calculadora gráfica, prueba graficar cada ecuación y comparar los resultados. ¡Las gráficas serán todas las mismas!
Sistemas de ecuaciones lineales
A veces se nos dan dos o más ecuaciones que pueden ser verdaderas para las mismas variables.
Por ejemplo:
Cuando y , ambas ecuaciones son verdaderas.
A estos se les llama sistemas de ecuaciones lineales y podemos encontrar sus variable(s) usando uno de dos métodos: eliminación y sustitución.
Resolución por eliminación
Pasos principales para resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación:
1. Reescribe las ecuaciones de manera que las variables estén en el mismo orden:
se convertirían en
2. Multiplica una o ambas ecuaciones por números no nulos que harían que un conjunto de términos se cancelara si se suman o restan:
se convertirían en
3. Suma o resta las ecuaciones para eliminar su variable común:
4. Resuelve la ecuación para aislar la variable restante:
5. Introduce esta variable en una de las ecuaciones originales y simplifica para aislar la variable restante:
Las variables que satisfacen ambas ecuaciones son y o
6. Repite lo necesario, como cuándo hay más de dos ecuaciones lineales en el sistema.
Resolución por sustitución
Pasos principales para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución:
1. Resuelve o en una de las ecuaciones aislando la variable:
2. Introduce la variable resultante en la otra ecuación y resuelve:
3. Introduce la variable resultante en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelve:
Las variables que satisfacen ambas ecuaciones son y o
4. Repite lo necesario, como cuándo hay más de dos ecuaciones lineales en el sistema.
Existen tres tipos de soluciones posibles para sistemas de ecuaciones lineales:
Sin solución : No hay variables que harían que todas las ecuaciones en el sistema sean verdaderas. En un gráfico, las líneas que representan las ecuaciones no se tocan. Si son ecuaciones lineales, estas líneas se ejecutarían paralelas entre sí.
Una solución : Existe un conjunto de variables que haría que todas las ecuaciones en el sistema sean verdaderas. En un gráfico, las líneas que representan las ecuaciones se cruzan una vez. El punto donde se cruzan es la solución al sistema.
Soluciones infinitas : Existe un número infinito de variables que harían que todas las ecuaciones en los sistemas sean verdaderas. Esto ocurre cuando todas las ecuaciones en el sistema son las mismas o son variaciones de la misma ecuación y, por lo tanto, representan la misma línea.
Otros términos relevantes:
Ecuaciones consistentes : dos o más ecuaciones son consistentes cuando comparten una o infinitas soluciones. Por ejemplo: y son consistentes porque comparten una solución .
Ecuaciones inconsistentes : dos o más ecuaciones son inconsistentes cuando no comparten ninguna solución, lo que significa que sus líneas no tienen puntos en común. Las líneas de ecuaciones inconsistentes corren paralelas entre sí. Por ejemplo: y son inconsistentes porque tiene un valor diferente en cada ecuación, lo que significa que las ecuaciones no comparten ninguna solución.
Ecuaciones independientes : dos o más ecuaciones son independientes cuando representan líneas diferentes.
Ecuaciones dependientes : dos o más ecuaciones son dependientes cuando representan la misma línea, dando cada ecuación soluciones infinitas. Las ecuaciones dependientes ocurren cuando una ecuación está escrita en diferentes formas. Por ejemplo: y representan la misma línea y, por lo tanto, son dependientes.