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Propiedades de las parábolas

Parábola

Una parábola es una curva compuesta por todos los puntos en un gráfico que están a la misma distancia de un punto dado, el foco, como lo están de una línea dada, la directriz.

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Conceptos importantes:

Forma estándar

Forma estándar de una parábola horizontal: $x = a y^{2} + b y + c$ ; si $a < 0$ entonces la parábola se abre hacia la izquierda; si $a > 0$ entonces la parábola se abre hacia la derecha.
Forma estándar de una parábola vertical: $y = a x^{2} + b x + c$ ; si $a < 0$ entonces la parábola abre hacia abajo como una mueca; si $a > 0$ entonces la parábola se abre hacia arriba como una sonrisa.

Forma del vértice
El vértice de una parábola por lo general se representa por

h

(para la coordenada x) y

k

(para la coordenada y), que se pueden encontrar utilizando la forma del vértice. En la forma del vértice tanto para las parábolas horizontales como para las verticales,

a

representa una reflexión a través del eje x y/o un estiramiento o compresión vertical,

h

representa una traducción horizontal (un desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha), y

k

representa una traducción vertical (un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo).

Forma del vértice de una parábola horizontal: $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , en el cual; si $a < 0$ entonces el vértice está a la derecha, y la parábola se abre hacia la izquierda; si $a > 0$ entonces el vértice está a la izquierda, y la parábola se abre hacia la derecha.
Forma del vértice de una parábola vertical: $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ; si $a < 0$ entonces el vértice es el punto más alto; si $a > 0$ entonces el vértice es el punto más bajo.

Puntos

Vértice $(h, k)$ : El punto de origen de una parábola que se ubica entre la directriz y el foco. La forma del vértice (ver Forma del vértice) puede usarse para encontrar el vértice de parábolas horizontales y verticales.
Foco $(h \pm p, k) (h, k \pm p)$ : El foco de una parábola es un punto que se encuentra dentro de la curva de la parábola alrededor del cual se curva la parábola. Las distancias desde el foco y la directriz a cualquier punto en la hipérbola son las mismas.

Líneas, segmentos de línea y ejes

Eje de simetría: Una línea que pasa por el vértice de una parábola, creando dos mitades congruentes.
Directriz: Una línea que corre perpendicular al eje de simetría de una parábola y paralela a su latus rectum. La distancia desde el vértice de una parábola a su directriz es la misma que la distancia desde el vértice de la parábola a su foco.
Longitud focal $(p)$ : La distancia entre el vértice de la parábola y el foco. Esta distancia es igual a la distancia entre el vértice de la parábola y su directriz.
Latus rectum $(4 p)$ : Un segmento de línea ubicado dentro de la parábola que pasa por el foco de la parábola y que es perpendicular al eje de simetría de la parábola. La longitud del latus rectum es igual a cuatro veces la longitud focal de la parábola y se puede expresar como $4 p$ .