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Distribución normal
Una distribución normal (también conocida como Distribución Gaussiana, Gauss o Distribución de Laplace–Gauss o "la curva de campana") es una distribución de probabilidad que relaciona una probabilidad acumulativa con una variable aleatoria $$X$$. El centro de una distribución normal siempre está ubicado en la media, atravesándola la distribución es completamente simétrica.



Notatciones
Los estadísticos suelen usar letras mayúsculas para representar variables aleatorias y letras minúsculas para representar sus valores. Por ejemplo:

• $$x$$ es el valor de la variable aleatoria $$X$$.
• $$x$$ representa la probabilidad de $$P\left(X\right)$$.
• $$P\left(X=x\right)$$ representa la probabilidad de que la variable aleatoria $$X$$ sea igual a un valor particular $$x$$. Por ejemplo, $$P\left(X=1\right)$$ se refiere a la probabilidad de que la variable aleatoria $$X$$ sea igual a $$1$$.

Otros ejemplos
$$P\left(30<X\right)$$: ¿Cuál es la probabilidad de que $$X$$ sea más grande que $$30$$?
$$P\left(X<80\right)$$: ¿Cuál es la probabilidad de que $$X$$ sea menor que $$80$$?
$$P\left(30<X<80\right)$$: ¿Cuál es la probabilidad de que $$X$$ esté entre $$30$$ y $$80$$?
$$P\left(30>X>80\right)$$: ¿Cuál es la probabilidad de que $$X$$ sea mayor que $$80$$ y menor que $$30$$?

Parámetros de la distribución normal
La media y la desviación estándar son los dos principales parámetros de una distribución normal. Determinan tanto la forma de la distribución como las probabilidades.

Media
$$\mu$$ o $$x̅$$
La media es la ubicación del centro y del peak de una distribución, lo que significa que cualquier cambio en la media mueve la curva de la distribución a la izquierda o a la derecha a lo largo del eje x. La mayoría de los puntos de datos (valores) se encuentran alrededor de la media.

Desviación estándar
$$\sigma$$ o $$s$$
La desviación estándar mide cuán lejos están los puntos de datos de la media de la distribución. Determina el ancho de una distribución normal. Una desviación estándar mayor resulta en curvas más cortas y anchas y desviaciones estándar más pequeñas resultan en curvas más altas y estrechas.

Propiedades de la distribución normal

1. Es simétrica
   La distribución normal es perfectamente simétrica, lo que significa que la curva de la distribución se puede doblar en el centro, a lo largo de la media, para producir dos mitades idénticas. Esta forma simétrica es el resultado de que la mitad de las observaciones caigan a cada lado de la curva.
2. La media, la mediana y la moda son todas iguales
   Como la distribución normal es simétrica, su centro representa la media, o promedio, de todos los puntos de datos. Esto significa que su mediana (el valor en el medio de un conjunto cuando sus valores están ordenados de menor a mayor) también se encuentra en el centro de la distribución y es igual a la media. El pico, el punto más alto de la curva de la distribución normal, también sucede ubicarse en el centro del gráfico, lo que significa que la moda de la distribución, su valor que ocurre con más frecuencia y, por lo tanto, el punto más alto en el gráfico, también está ubicado en el centro de la distribución. Estos datos de la distribución normal representan los puntos de datos (valores) que ocurren. La media es el centro de la distribución porque la media es el punto que ocurre con más frecuencia. El punto medio también es el punto donde caen estas tres medidas. Las medidas normalmente son iguales en una distribución perfectamente (normal). La mitad de la población es menor que la media y la otra mitad es mayor que la media.
3. La regla empírica
   También llamada la regla 68-95-99.7. La regla empírica describe el porcentaje de los datos que caen dentro de ciertos números de desviaciones estándar de la media para curvas en forma de campana.
   
   En los datos normalmente distribuidos, hay una proporción constante de distancia que yace bajo la curva entre la media y un número específico de desviaciones estándar de la media. La Regla Empírica te permite determinar la proporción de valores que caen dentro de ciertas distancias de la media.
   
   68.25% de los casos caen dentro de +/- una desviación estándar de la media.
   95% de los casos caen dentro de +/- dos desviaciones estándar de la media.
   99.7% de los casos caen dentro de +/- tres desviaciones estándar de la media.
   
   

Distribución normal estándar

La distribución normal estándar es un caso especial de la distribución normal donde la media es cero y la desviación estándar es uno. Esta distribución también se llama Distribución Z.



Notatciones

• $$z$$ es el "puntaje z" (puntuación estándar) - el puntaje z es cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor desde la media.
• $$\mu$$ (mu) es la media.
• $$\sigma$$ (sigma) es la desviación estándar.

Puntajes estándar

Un valor en la distribución normal estándar se llama puntaje estándar o puntaje z. Representa la cantidad de desviaciones estándar por encima o por debajo de la media que cae una observación específica.
Por ejemplo, un puntaje estándar de $$1.5$$ indica que la observación está $$1.5$$ desviaciones estándar por encima de la media. Un puntaje estándar negativo representa un valor por debajo del promedio. La media tiene un puntaje z de $$0$$.
Más del 99.9% de todos los casos caen dentro de +/- 3.9 desviaciones estándar de la media. Entonces, consideramos la probabilidad de cualquier dato con un puntaje z mayor a $$3.9$$ o menor a $$-3.9$$ como del 0%. En otras palabras, consideramos el intervalo entre $$-3.9$$ y $$3.9$$ como el 100% de la distribución normal estándar.

Encontrar áreas bajo la curva de una distribución normal estándar

La distribución normal es una distribución de probabilidad. Como con cualquier distribución de probabilidad, la proporción del área que cae bajo la curva entre dos puntos en una gráfica de distribución de probabilidad indica la probabilidad de que un valor caiga dentro de ese intervalo.
El área bajo la curva es igual a $$1$$ y está al 100% de la distribución. $$1$$=100%.
Cuando obtienes un puntaje z, puedes encontrar el área hasta él buscando en una tabla de distribución normal estándar. También conocida como la tabla de puntajes z. (el enlace a la tabla próximamente)
Debido a que la tabla de puntajes z muestra el área hasta el valor del puntaje z, cuando quieres encontrar la probabilidad de datos con puntajes z más grandes, necesitas restar el número de la tabla a $$1$$. Esto se puede mostrar como una regla:
$$P\left(z>a\right)=1-P\left(z<a\right)$$
Cuando no encontramos el puntaje z perfecto en la tabla, elegimos el más cercano. Si los 2 puntajes z más cercanos están a la misma distancia de nuestro puntaje z deseado, calculamos su media.

Otros ejemplos
$$P\left(0.15<z\right)$$ - ¿Cuál es la probabilidad de datos con un puntaje z que sea mayor a $$0.15$$?
$$P\left(z<2.92\right)$$ - ¿Cuál es la probabilidad de datos con un puntaje z que sea menor a $$2.92$$?
$$P\left(0.15<z<2.92\right)$$ - ¿Cuál es la probabilidad de datos con un puntaje z que esté entre $$0.15$$ y $$2.92$$?
$$P\left(0.15>z>2.92\right)$$ - ¿Cuál es la probabilidad de datos con un puntaje z que sea mayor a $$2.92$$ y menor a $$0.15$$?

Estandarización

Calculando puntajes z
Los puntajes estándar son una excelente manera de entender dónde cae una observación específica en relación con toda la distribución normal. También te permiten tomar observaciones tomadas de poblaciones normalmente distribuidas con diferentes medias y desviaciones estándar y colocarlas en una escala estándar. Después de estandarizar tus datos, puedes colocarlos dentro de la distribución normal estándar.
De esta manera, la estandarización te permite comparar diferentes tipos de observaciones en base a dónde cae cada observación dentro de su propia distribución.
Para calcular el puntaje estándar para una observación, toma la medición en bruto, réstale la media y divídelo por la desviación estándar. Matemáticamente, la fórmula para ese proceso es la siguiente:
$$z=\left(x-\mu \right)/\sigma$$
$$x$$ representa el valor en bruto de la medición de interés. Es el valor a estandarizar, a veces llamado el punto de dato.
$$\mu$$ (Mu) y $$\sigma$$ (sigma) representan los parámetros para la población de la que se extrajo la observación.

Más términos relacionados

Asimetría
La asimetría se refiere a una distorsión o asimetría que se desvía de la curva de campana simétrica, o distribución normal, en un conjunto de datos. Si la curva se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha, se dice que está sesgada. La asimetría puede ser cuantificada como una representación de la extensión en la que una distribución dada varía de una distribución normal. La asimetría diferencia los valores extremos en una cola versus la otra. Una distribución normal tiene un sesgo de cero.

Kurtosis
La kurtosis mide los valores extremos en cualquier cola. Las distribuciones con una alta kurtosis exhiben datos de cola que exceden las colas de la distribución normal. Las distribuciones con baja kurtosis exhiben datos de cola que generalmente son menos extremos que las colas de la distribución normal. La kurtosis es una medida del peso combinado de las colas de una distribución en relación con el centro de la distribución. Cuando un conjunto de datos aproximadamente normales se grafica a través de un histograma, muestra un pico de campana y la mayoría de los datos dentro de tres desviaciones estándar (más o menos) de la media. Sin embargo, cuando está presente una alta kurtosis, las colas se extienden más allá de las tres desviaciones estándar de la distribución normal con forma de campana.