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Las desigualdades de valor absoluto son expresiones matemáticas que involucran la función de valor absoluto y las desigualdades. El valor absoluto de un número real representa su distancia desde cero en la línea de los números. Las desigualdades que involucran valores absolutos a menudo requieren enfoques diferentes a las desigualdades regulares debido a la naturaleza no lineal de la función de valor absoluto.

Conceptos Básicos

Para entender las desigualdades de valor absoluto, es crucial comprender el concepto de valor absoluto. Para cualquier número real x, el valor absoluto de x, denotado como |x|, se define como:

|x| = x si x ≥ 0, y |x| = -x si x < 0.

Cuando resolvemos desigualdades de valor absoluto, a menudo encontramos expresiones en la forma |ax + b| < c o |ax + b| > c, donde a, b, y c son números reales.

Resolviendo Desigualdades de Valor Absoluto

Para resolver desigualdades de valor absoluto, generalmente seguimos estos pasos:

1. Aislar la expresión de valor absoluto si aún no está aislada.
2. Establecer dos desigualdades sin valores absolutos considerando ambos casos, positivo y negativo.
3. Resolver cada desigualdad por separado.
4. Combinar las soluciones si es necesario y representar la solución final en la línea numérica.

Ejemplos

Consideremos algunos ejemplos para ilustrar el proceso de resolución de desigualdades de valor absoluto:

Ejemplo 1:

Resuelve la desigualdad |2x - 3| < 5.

Comenzamos aislando la expresión de valor absoluto:

|2x - 3| < 5

Luego, establecemos dos desigualdades:

-5 < 2x - 3 < 5

y

-5 < -2x + 3 < 5

Resolvemos cada desigualdad por separado y combinamos las soluciones para obtener la solución final.

Ejemplo 2:

Resuelve la desigualdad |3x + 2| >= 7.

Seguimos pasos similares como en el Ejemplo 1 para resolver esta desigualdad de valor absoluto.

Conclusión

Las desigualdades de valor absoluto son importantes en varios campos de las matemáticas y aplicaciones de la vida real. Dominar las técnicas para resolverlas es esencial para una comprensión más profunda del álgebra y materias relacionadas.