Calculadora Tiger Algebra

Una combinación es un modo de disponer los elementos de un conjunto cuando el orden de la disposición no importa. Un ejemplo sería escoger tres números al azar de una lista de nueve números. No importa si escoges el $$1$$, luego el $$7$$ y luego el $$4$$ o si escoges el $$7$$, luego el $$1$$ y luego el $$4$$.
Una permutación es un modo de disponer los elementos de un conjunto cuando el orden de la disposición sí importa. Un ejemplo sería el código de un candado. Si el código es $$1,7,4$$, no puede introducirse en el orden $$1,4,7$$ ni $$4,7,1$$ ni en cualquier otro orden.
Siempre y cuando haya más de un elemento en un conjunto, habrá siempre más permutaciones que combinaciones.

Tanto las combinaciones como las permutaciones pueden darse con o sin repeticiones, es decir, pueden contener o no uno o más elementos varias veces. Aunque te parezca que esto no constituye una gran diferencia, la repetición de elementos en un conjunto cambia drásticamente la manera de abordar el problema.

Notaciones
$$n$$ normalmente representa el número total de elementos en un conjunto.
$$k$$ normalmente representa el número de elementos de un subconjunto seleccionado.
$$C$$ normalmente representa las combinaciones.
$$P$$ normalmente representa las permutaciones.

$$P\left(n,k\right)$$ representa el número de permutaciones diferentes de un subconjunto ($$k$$) que forma parte de un conjunto mayor ($$n$$) y puede escribirse también como:
FALTA IMAGEN
$$C\left(n,k\right)$$ representa el número de combinaciones diferentes de un subconjunto ($$k$$) que forma parte de un conjunto mayor ($$n$$) y puede escribirse también como:
FALTA IMAGEN
Esta notación también se conoce como “n elementos tomados de k en k”.

Fórmulas
Para resolver permutaciones y combinaciones usamos la función factorial.

Permutaciones con repetición
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
P. ej.: ¿Cuántas permutaciones distintas hay de un subconjunto de $$3$$ elementos de un total de $$9$$ cuando son posibles las repeticiones?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutaciones sin repetición
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
P. ej.: ¿Cuántas permutaciones distintas hay de un subconjunto de $$3$$ elementos de un total de $$9$$ cuando no son posibles las repeticiones?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Combinaciones con repetición
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
P. ej.: ¿Cuántas combinaciones distintas hay de un subconjunto de $$3$$ elementos de un total de $$9$$ cuando son posibles las repeticiones?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Combinaciones sin repetición enlace a este ejercicio
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
P. ej.: ¿Cuántas combinaciones distintas hay de un subconjunto de $$3$$ elementos de un total de $$9$$ cuando no son posibles las repeticiones?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$