Gib eine Gleichung oder eine Aufgabe ein

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Lösung - Lösung quadratischer Ungleichungen mit der ABC-Formel

Lösung:

- 4, 464 \leq x \leq 2, 464

-4,464<=x<=2,464

Intervalldarstellung:

x \in [- 4, 464, 2, 464]

x∈[-4,464,2,464]

Schritte ansehen

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Vereinfache den Ausdruck

12 zusätzliche schritte

$5 x^{2} + 2 x - 16 < = 3 x^{2} - 2 x + 6$

Addiere $16$ zu beiden Seiten:

$(5 x^{2} + 2 x - 16) + 2 x < = (3 x^{2} - 2 x + 6) + 2 x$

Sammeln ähnlicher Terme:

$5 x^{2} + (2 x + 2 x) - 16 < = (3 x^{2} - 2 x + 6) + 2 x$

Vereinfache den Ausdruck:

$5 x^{2} + 4 x - 16 < = (3 x^{2} - 2 x + 6) + 2 x$

Sammeln ähnlicher Terme:

$5 x^{2} + 4 x - 16 < = 3 x^{2} + (- 2 x + 2 x) + 6$

Vereinfache den Ausdruck:

$5 x^{2} + 4 x - 16 < = 3 x^{2} + 6$

Subtrahiere 16 von beiden Seiten:

$(5 x^{2} + 4 x - 16) - 3 x^{2} < = (3 x^{2} + 6) - 3 x^{2}$

Sammeln ähnlicher Terme:

$(5 x^{2} - 3 x^{2}) + 4 x - 16 < = (3 x^{2} + 6) - 3 x^{2}$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x^{2} + 4 x - 16 < = (3 x^{2} + 6) - 3 x^{2}$

Sammeln ähnlicher Terme:

$2 x^{2} + 4 x - 16 < = (3 x^{2} - 3 x^{2}) + 6$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x^{2} + 4 x - 16 < = 6$

Addiere $16$ zu beiden Seiten:

$(2 x^{2} + 4 x - 16) + 16 < = 6 + 16$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x^{2} + 4 x < = 6 + 16$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x^{2} + 4 x < = 22$

Vereinfache die quadratische Ungleichung in ihre Normalform.

$a x^{2} + b x + c \leq 0$

Subtrahiere $22$ von beiden Seiten der Ungleichung:

$2 x^{2} + 4 x \leq 22$

Subtrahiere $22$ von beiden Seiten:

$2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 22 - 22$

Vereinfache den Ausdruck

$2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 0$

2. Ermittle die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ der quadratischen Ungleichung.

Die Koeffizienten unserer Ungleichung, $2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 0$ , lauten:

$a$ = 2

$b$ = 4

$c$ = -22

3. Setze diese Koeffizienten in die ABC-Formel ein,

Um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden, setzen Sie deren Koeffizienten ( $a$ , $b$ und $c$ ) in die quadratische Formel ein:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = 4$
$c = - 22$

$x = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * 2 * - 22)) / (2 * 2)$

Vereinfache die Exponenten und Quadratwurzeln.

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * 2 * - 22)) / (2 * 2)$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 8 * - 22)) / (2 * 2)$

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - - 176)) / (2 * 2)$

Berechne eine beliebige Addition oder Subtrahierung, von links nach rechts.

$x = (- 4 \pm s q r t (16 + 176)) / (2 * 2)$

$x = (- 4 \pm s q r t (192)) / (2 * 2)$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$x = (- 4 \pm s q r t (192)) / (4)$

um das Ergebnis zu erhalten:

$x = (- 4 \pm s q r t (192)) / 4$

4. Vereinfache die Quadratwurzel $\sqrt{(192)}$

Vereinfache $192$ durch Ermitteln der Primfaktoren:

Baumansicht der Primfaktoren von <math>192</math>:

Die Primfaktorzerlegung von $192$ ist $2^{6} \cdot 3$ .

Gib die Primfaktoren an:

$\sqrt{192} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Gruppiere die Primfaktoren in Paare und schreibe sie in Exponentialform um:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3}$

Verwende die Regel $\sqrt{(x^{2})} = x$ zur weiteren Vereinfachung:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

$4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot \sqrt{3}$

5. Löse die Gleichung nach x.

$x = (- 4 \pm 8 * s q r t (3)) / 4$

± bedeutet, dass zwei Wurzeln möglich sind.

Trenne die Gleichungen: $x_{1} = (- 4 + 8 * s q r t (3)) / 4$ und $x_{2} = (- 4 - 8 * s q r t (3)) / 4$

$x_{1} = (- 4 + 8 * s q r t (3)) / 4$

Entfernen Sie die Klammern

$x_{1} = (- 4 + 8 * s q r t (3)) / 4$

$x_{1} = (- 4 + 8 * 1, 732) / 4$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$x_{1} = (- 4 + 8 * 1, 732) / 4$

$x_{1} = (- 4 + 13, 856) / 4$

Berechne eine beliebige Addition oder Subtrahierung, von links nach rechts.

$x_{1} = (- 4 + 13, 856) / 4$

$x_{1} = (9, 856) / 4$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$x_{1} = 9, \frac{856}{4}$

$x_{1} = 2, 464$

$x_{2} = (- 4 - 8 * s q r t (3)) / 4$

$x_{2} = (- 4 - 8 * 1, 732) / 4$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$x_{2} = (- 4 - 8 * 1, 732) / 4$

$x_{2} = (- 4 - 13, 856) / 4$

Berechne eine beliebige Addition oder Subtrahierung, von links nach rechts.

$x_{2} = (- 4 - 13, 856) / 4$

$x_{2} = (- 17, 856) / 4$

Führe eine beliebige Multiplikation oder Division durch, von links nach rechts:

$x_{2} = - 17, \frac{856}{4}$

$x_{2} = - 4, 464$

6. Ermittle die Intervalle.

Um die Intervalle einer quadratischen Ungleichung zu ermitteln, beginnen wir mit dem Ermitteln der zugehörigen Parabel.

Die Wurzeln der Parabel (wie sie die x-Achse schneidet) lauten: -4,464, 2,464.

Da der Koeffizient $a$ positiv ist ( $a$ =2), handelt es sich um eine „positive“ quadratische Ungleichung und die Parabel zeigt wie ein Smiley nach oben!

Falls das Vergleichszeichen ≤ oder ≥ ist, dann enthalten die Intervalle die Wurzeln und wir verwenden eine durchgehende Linie. Falls das Vergleichszeichen < oder > ist, enthalten die Intervalle die Wurzeln nicht und wir verwenden eine gepunktete Linie.

7. Wähle das richtige Intervall (die Lösung).

Da $2 x^{2} + 4 x - 22 \leq 0$ eine Ungleichung $\leq$ ist, verwenden wir die Parabelbereiche unter der x-Achse.

Lösung:

Intervalldarstellung:

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Warum sollte ich das lernen?

Quadratische Gleichungen beschreiben den Pfad eines Bogens und die Punkte entlang des Bogens. Quadratische Ungleichungen beschreiben die Flächen innerhalb und außerhalb solcher Bögen und die Bereiche, die sie abdecken. Anders ausgedrückt sagen uns quadratische Gleichungen, wo die Grenze liegt. Quadratische Ungleichungen beschreiben die Bereiche rund um diese Grenze. In der Praxis werden quadratische Ungleichungen verwendet, um komplexe Algorithmen und leistungsstarke Software zu erstellen, die zeitliche Änderungen beschreiben, wie zum Beispiel Preisänderungen im Lebensmittelladen.

Begriffe und Themen

Quadratische Ungleichungen

Lösung - Lösung quadratischer Ungleichungen mit der ABC-Formel

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Vereinfache den Ausdruck

2. Ermittle die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Ungleichung.

3. Setze diese Koeffizienten in die ABC-Formel ein,

4. Vereinfache die Quadratwurzel (192)

5. Löse die Gleichung nach x.

6. Ermittle die Intervalle.

7. Wähle das richtige Intervall (die Lösung).

Warum sollte ich das lernen?

Begriffe und Themen

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2. Ermittle die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ der quadratischen Ungleichung.

4. Vereinfache die Quadratwurzel $\sqrt{(192)}$