Lösung - Lösung quadratischer Ungleichungen mit der ABC-Formel

Die Koeffizienten unserer Ungleichung, $$14x^2-31x-17\le 0$$, lauten:

$$a$$ = 14

$$b$$ = -31

$$c$$ = -17

Um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden, setzen Sie deren Koeffizienten ($$a$$, $$b$$ und $$c$$ ) in die quadratische Formel ein:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(-{31}^2-4*14*-17\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961-4*14*-17\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961-56*-17\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961--952\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961+952\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(1913\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(1913\right)\right)/\left(28\right)$$

$$x=\left(31\pm sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

um das Ergebnis zu erhalten:

$$x=\left(31\pm sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

Vereinfache $$1913$$ durch Ermitteln der Primfaktoren:

Die Primfaktorzerlegung von $$1913$$ ist $$1913$$.

$$x=\left(31\pm sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

± bedeutet, dass zwei Wurzeln möglich sind.

Trenne die Gleichungen: $$x_1=\left(31+sqrt\left(1913\right)\right)/28$$ und $$x_2=\left(31-sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

$$x_1=\left(31+sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

$$x_1=\left(31+sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

$$x_1=\left(31+43,738\right)/28$$

$$x_1=\left(31+43,738\right)/28$$

$$x_1=\left(74,738\right)/28$$

$$x_1=74,\frac{738}{28}$$

$$x_1=2,669$$

$$x_2=\left(31-sqrt\left(1913\right)\right)/28$$

$$x_2=\left(31-43,738\right)/28$$

$$x_2=\left(31-43,738\right)/28$$

$$x_2=\left(-12,738\right)/28$$

$$x_2=-12,\frac{738}{28}$$

$$x_2=-0,455$$

Um die Intervalle einer quadratischen Ungleichung zu ermitteln, beginnen wir mit dem Ermitteln der zugehörigen Parabel.

Die Wurzeln der Parabel (wie sie die x-Achse schneidet) lauten: -0,455, 2,669.

Da der Koeffizient $$a$$ positiv ist ($$a$$=14), handelt es sich um eine „positive“ quadratische Ungleichung und die Parabel zeigt wie ein Smiley nach oben!

Falls das Vergleichszeichen ≤ oder ≥ ist, dann enthalten die Intervalle die Wurzeln und wir verwenden eine durchgehende Linie. Falls das Vergleichszeichen < oder > ist, enthalten die Intervalle die Wurzeln nicht und wir verwenden eine gepunktete Linie.

Da $$14x^2-31x-17\le 0$$ eine Ungleichung $$\le$$ ist, verwenden wir die Parabelbereiche unter der x-Achse.

Lösung: $$$$

Intervalldarstellung: $$$$