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Lösung - Lösen quadratischer Gleichungen durch Vervollständigen des Quadrats

Exakte Form:

x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{401}}{4}

x_1=\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{401}}{4}

x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{401}}{4}

x_2=\frac{9}{4}-\frac{\sqrt{401}}{4}

Dezimalform:

x_{1} = 7, 256

x_1=7,256

x_{2} = - 2, 756

x_2=-2,756

Schritte ansehen

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Bestimme die Koeffizienten

Verwenden Sie die Standardform einer quadratischen Gleichung, $a x^{2} + b x + c = 0$ , um die Koeffizienten zu finden:

$- 2 x^{2} + 9 x + 40 = 0$

$a = - 2$
$b = 9$
$c = 40$

2. Mache den a-Koeffizienten gleich 1

Weil $a = - 2$ ist, teile alle Koeffizienten und Konstanten auf beiden Seiten der Gleichung durch $- 2$ :

$- 2 x^{2} + 9 x + 40 = 0$

$- \frac{2}{-} 2 x^{2} + 9 \frac{x}{-} 2 + \frac{40}{-} 2 = \frac{0}{-} 2$

Vereinfache den Ausdruck

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 20 = 0$

Die Koeffizienten sind:
$a = 1$
$b = - \frac{9}{2}$
$c = - 20$

3. Verschiebe die Konstante auf die rechte Seite der Gleichung und kombiniere

Füge $20$ zu beiden Seiten der Gleichung hinzu:

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 20 = 0$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 20 + 20 = 0 + 20$

$x^{2} - \frac{9}{2} x = 20$

4. Vervollständige das Quadrat

Um die linke Seite der Gleichung in ein perfektes quadratisches Trinom zu verwandeln, füge eine neue Konstante gleich ${(\frac{b}{2})}^{2}$ zur Gleichung hinzu:

$b = - \frac{9}{2}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{9}{2}}{2})}^{2}$

Verwenden Sie die Exponentenbruchregel ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{9}{2}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{9}{2})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{9}{2})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{81}{4}}{4}$

$\frac{\frac{81}{4}}{4} = \frac{81}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{81}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{81}{16}$

Füge $\frac{81}{16}$ auf beiden Seiten der Gleichung hinzu:

3 zusätzliche schritte

$x^{2} - \frac{9}{2} x = 20$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{81}{16} = 20 + \frac{81}{16}$

Wandle die ganze Zahl in eine Bruchzahl um:

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{81}{16} = \frac{320}{16} + \frac{81}{16}$

Zusammenfassen von Brüchen:

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{81}{16} = \frac{(320 + 81)}{16}$

Zusammenfassen von Zählern:

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{81}{16} = \frac{401}{16}$

Jetzt haben wir ein perfektes quadratisches Trinom, wir können es als perfekte Quadratform schreiben, indem wir die Hälfte des $b$ -Koeffizienten, $\frac{b}{2}$ zufügen:
$b = - \frac{9}{2}$

2 zusätzliche schritte

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{9}{2}}{2}$

Vereinfachen der Division:

$\frac{b}{2} = \frac{- 9}{(2 \cdot 2)}$

Vereinfache den Ausdruck:

$\frac{b}{2} = \frac{- 9}{4}$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{81}{16} = \frac{401}{16}$

${(x - \frac{9}{4})}^{2} = \frac{401}{16}$

5. Löse nach $x$

Ziehe die Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung: WICHTIG: Beim Finden der Wurzel einer Konstante erhalten wir zwei Lösungen: positive und negative

${(x - \frac{9}{4})}^{2} = \frac{401}{16}$

$\sqrt{{(x - \frac{9}{4})}^{2}} = \sqrt{\frac{401}{16}}$

Heben Sie das Quadrat und die Quadratwurzel auf der linken Seite der Gleichung auf:

$x - \frac{9}{4} = \pm \sqrt{\frac{401}{16}}$

Addiere $\frac{9}{4}$ zu beiden Seiten

$x - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{4} \pm \sqrt{\frac{401}{16}}$

Vereinfachen der linken Seite

$x = \frac{9}{4} \pm \sqrt{\frac{401}{16}}$

$x = \frac{9}{4} \pm \frac{\sqrt{401}}{\sqrt{16}}$

$x = \frac{9}{4} \pm \frac{\sqrt{401}}{4}$

$x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{401}}{4}$
$x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{401}}{4}$

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Warum sollte ich das lernen?

In ihrer grundlegendsten Funktion definieren quadratische Gleichungen Formen wie Kreise, Ellipsen und Parabeln. Mit diesen Formen kann man zum Beispiel den Kurvenverlauf eines sich bewegenden Objekts vorhersagen, wie einen von einem Fußballspieler getretenen Ball oder einen aus einer Kanone abgefeuerten Ball.
Wenn es um die Bewegung eines Objekts im Raum geht, was gibt es besseres, als mit dem Raum selbst anzufangen, mit der Umdrehung der Planeten um die Sonne in unserem Sonnensystem. Die quadratische Gleichung wurde verwendet, um festzustellen, dass die Bahnen der Planeten elliptisch und nicht kreisförmig sind. Die Bestimmung des Pfades und der Geschwindigkeit, mit der ein Objekt durch den Raum reist, ist auch möglich, nachdem es zum Stillstand gekommen ist: die quadratische Gleichung kann berechnen, wie schnell ein Fahrzeug gefahren ist, als es einen Unfall hatte. Mit Informationen wie dieser können die Automobilindustrie Bremsen entwerfen, um zukünftige Zusammenstöße zu verhindern. Viele Industriezweige verwenden die quadratische Gleichung, um die Lebensdauer und Sicherheit ihrer Produkte vorherzusagen und somit zu verbessern.

Begriffe und Themen

Lösung quadratischer Gleichungen durch quadratische Ergänzung