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Lösung - Lösen quadratischer Gleichungen durch Faktorisieren

Exakte Form:

x = - \frac{1}{2}

x=-\frac{1}{2}

Dezimalform:

x = - 0, 5

x=-0,5

Gleichung in faktorisierter Form:

{(2 x + 1)}^{2} = 0

(2x+1)^2=0

Schritte ansehen

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Stelle sicher, dass die Gleichung ein perfektes Quadrat-Trinom ist

In einem perfekten quadratischen Trinom gilt die Regel, dass die Wurzel des Koeffizienten $a$ , multipliziert mit der Wurzel des Koeffizienten $c$ , mal zwei dem Koeffizienten $b$ entspricht:
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{c} \cdot 2 = b$

Um die Koeffizienten zu finden, verwenden Sie die Standardform einer quadratischen Gleichung:
$a x^{2} + b x + c = 0$
$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Koeffizient $a$ $= 4$
Koeffizient $b$ $= 4$
Koeffizient $c$ $= 1$

Stecken Sie die Koeffizienten in die Regel und prüfen Sie, ob es wahr ist:

$\sqrt{(4)} \cdot \sqrt{(1)} \cdot 2 = 4$

Nimm die Quadratwurzeln heraus

$2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$

Vereinfache den Ausdruck

$4 = 4$

Weil die Gleichung wahr ist,
$4 x^{2} + 4 x + 1$
ist ein perfektes quadratisches trinomial.

2. Finde den Faktor des perfekten quadratischen Trinoms

Um den Faktor des perfekten quadratischen Trinoms zu finden:
$4 x^{2} + 4 x + 1$
Verwende die Formel des perfekten quadratischen Trinoms:
$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

$a^{2} = 4 x^{2}$

$b^{2} = 1$

Nimm die Quadratwurzeln heraus

$a = \sqrt{4 x^{2}}$

$b = \sqrt{1}$

Vereinfache den Ausdruck

$a = 2 x$

$b = 1$

${(a + b)}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$
Der Faktor von $4 x^{2} + 4 x + 1$ ist $(2 x + 1)$

3. Finde die Wurzel der quadratischen Gleichung

Finde die Wurzel von:
$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$
in seiner faktorisierten Form:
${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Falls
${(2 x + 1)}^{2} = 0$
Dann
$(2 x + 1) (2 x + 1) = 0$
Das bedeutet
$(2 x + 1) = 0$

Lösen Sie nach $x$ auf:

4 zusätzliche schritte

$(2 x + 1) = 0$

Subtrahiere von beiden Seiten:

$(2 x + 1) - 1 = 0 - 1$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x = 0 - 1$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x = - 1$

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch :

$\frac{(2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Vereinfachen des Bruchs:

$x = \frac{- 1}{2}$

4. Graphik

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Warum sollte ich das lernen?

In ihrer grundlegendsten Funktion definieren quadratische Gleichungen Formen wie Kreise, Ellipsen und Parabeln. Diese Formen können wiederum verwendet werden, um die Kurve eines sich bewegenden Objekts vorherzusagen, wie einen Ball, der von einem Fußballspieler gekickt oder einen Schuss aus einer Kanone.
Was gibt es besseres, als mit dem Raum selbst und der Umdrehung der Planeten um die Sonne in unserem Sonnensystem zu beginnen? Die quadratische Gleichung wurde verwendet, um festzustellen, dass die Umlaufbahnen der Planeten elliptisch und nicht kreisförmig sind. Mit der quadratischen Gleichung kann man die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs zum Zeitpunkt eines Unfalls berechnen. Mit solchen Informationen kann die Automobilindustrie Bremsen so konstruieren, dass sie in Zukunft Kollisionen verhindern. Viele Industrien verwenden die quadratische Gleichung, um die Lebensdauer und Sicherheit ihrer Produkte zu verbessern.

Begriffe und Themen

Lösen von quadratischen Gleichungen durch Faktorisierung