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Lösung - Lösen quadratischer Gleichungen durch Faktorisieren

Exakte Form:

x_{1} = - 29, x_{2} = \frac{3}{2}

x_1=-29, x_2=\frac{3}{2}

Dezimalform:

x_{1} = - 29, x_{2} = 1, 5

x_1=-29, x_2=1,5

Gleichung in faktorisierter Form:

(x + 29) (2 x - 3) = 0

(x+29)(2x-3)=0

Schritte ansehen

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Finde die Koeffizienten

Um die Koeffizienten zu finden, verwende die Standardform einer quadratischen Gleichung:
$a x^{2} + b x + c = 0$
$2 x^{2} + 55 x - 87 = 0$

Koeffizient $a$ $= 2$
Koeffizient $b$ $= 55$
Koeffizient $c$ $= - 87$

2. Finde zwei Zahlen, deren Produkt gleich $a \cdot c$ und deren Summe gleich $b$ ist

Finde die Faktoren, deren Produkt gleich dem Koeffizienten $a$ multipliziert mit dem Koeffizienten $c$ ist:
Koeffizient $a$ ∙ Koeffizient $c$ = $2$ ∙ $- 87$ = $- 174$

Liste die Faktoren von $- 174$ auf:
$1, 2, 3, 6, 29, 58, 87, 174$

Da das Produkt der Koeffizienten $a$ und $c$ eine negative Zahl ergibt $(- 174)$ , muss einer der Faktoren positiv und der andere negativ sein.

Suche in der Liste der Faktoren ein Paar, dessen Summe gleich dem Koeffizienten $b$ ist.
Koeffizient $b$ = $55$

Dieses Paar funktioniert nicht.

$1 \cdot - 174 = - 174$

$1 - 174 = - 173$

Dieses Paar funktioniert nicht.

$2 \cdot - 87 = - 174$

$2 - 87 = - 85$

Dieses Paar funktioniert nicht.

$3 \cdot - 58 = - 174$

$3 - 58 = - 55$

Dieses Paar funktioniert nicht.

$6 \cdot - 29 = - 174$

$6 - 29 = - 23$

Dieses Paar funktioniert nicht.

$29 \cdot - 6 = - 174$

$29 - 6 = 23$

Gefunden - dieses Paar macht den Trick:

$58 \cdot - 3 = - 174$

$58 - 3 = 55$

Das Produkt von $58$ und $- 3$ entspricht dem Koeffizienten $a$ $(2)$ multipliziert mit dem Koeffizienten $c$ $(- 87)$ und deren Summe entspricht dem Koeffizienten $b$ $(55)$ .

3. Teile den mittleren Term der Gleichung auf

$2 x^{2} + 55 x - 87 = 0$
Schreibe den mittleren Term um, indem du $58$ und $- 3$ verwendest:
$2 x^{2} + 58 x - 3 x - 87 = 0$

4. Faktorisiere durch Gruppierung

$2 x^{2} + 58 x - 3 x - 87 = 0$

Faktorisieren Sie die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme separat:

$(2 x^{2} + 58 x) + (- 3 x - 87) = 0$

Faktorisieren Sie den ersten Term:

$2 x (x + 29) + (- 3 x - 87) = 0$

Faktorisieren Sie den zweiten Term:

$2 x (x + 29) - 3 (x + 29) = 0$

Faktorisieren Sie den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe:

$(x + 29) (2 x - 3) = 0$

Die Faktoren von $2 x^{2} + 55 x - 87 = 0$ sind $(x + 29)$ und $(2 x - 3)$ .

5. Finde die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Wenn
$(x + 29)$ ∙ $(2 x - 3) = 0$
Dann
$(x + 29) = 0$
und/oder
$(2 x - 3) = 0$

Löse jeden Faktor für $x$ :

Faktor 1:

2 zusätzliche schritte

$(x + 29) = 0$

Subtrahiere von beiden Seiten:

$(x + 29) - 29 = 0 - 29$

Vereinfache den Ausdruck:

$x = 0 - 29$

Vereinfache den Ausdruck:

$x = - 29$

Faktor 2:

4 zusätzliche schritte

$(2 x - 3) = 0$

Addiere zu beiden Seiten:

$(2 x - 3) + 3 = 0 + 3$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x = 0 + 3$

Vereinfache den Ausdruck:

$2 x = 3$

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch :

$\frac{(2 x)}{2} = \frac{3}{2}$

Vereinfachen des Bruchs:

$x = \frac{3}{2}$

6. Graf

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Warum sollte ich das lernen?

In ihrer grundlegendsten Funktion definieren quadratische Gleichungen Formen wie Kreise, Ellipsen und Parabeln. Diese Formen können wiederum verwendet werden, um die Kurve eines sich bewegenden Objekts vorherzusagen, wie einen Ball, der von einem Fußballspieler gekickt oder einen Schuss aus einer Kanone.
Was gibt es besseres, als mit dem Raum selbst und der Umdrehung der Planeten um die Sonne in unserem Sonnensystem zu beginnen? Die quadratische Gleichung wurde verwendet, um festzustellen, dass die Umlaufbahnen der Planeten elliptisch und nicht kreisförmig sind. Mit der quadratischen Gleichung kann man die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs zum Zeitpunkt eines Unfalls berechnen. Mit solchen Informationen kann die Automobilindustrie Bremsen so konstruieren, dass sie in Zukunft Kollisionen verhindern. Viele Industrien verwenden die quadratische Gleichung, um die Lebensdauer und Sicherheit ihrer Produkte zu verbessern.

Begriffe und Themen

Lösen von quadratischen Gleichungen durch Faktorisierung

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