Schritt-für-Schritt-Erklärung
1. Ermittle das größte Vielfache von 4, das kleiner oder gleich dem Exponenten von i ist.
Wenn i mit ansteigenden Potenzen potenziert wird, wiederholen sich die Werte alle vier Terme unendlich oft:
und so weiter.
Die Ergebnisse wiederholen sich nach , und das Muster wiederholt sich zyklisch alle vier Terme, immer und immer wieder. Wir können dieses Muster verwenden, um i hoch eine beliebige Potenz zu berechnen.
Teile die Potenz von i (981) durch 4:
Multipliziere 4 mit 245:
980 ist das größte Vielfache von 4, das kleiner oder gleich 981 ist.
2. Berechne die Potenz von i
Erweitere die Potenz mithilfe der Regel:
Schreibe 980 als ein Vielfaches von 4 um:
Erweitere die Potenz mithilfe der Regel:
Da :
Weil 1 in beliebiger Potenz gleich 1 ist:
Vereinfache nach dem Muster der Potenzen von i:
, , ,
Die Potenz von beträgt
Wie haben wir uns geschlagen?
Schicke uns dein Feedback.Warum sollte ich das lernen?
Trotz des etwas irreführenden Namens sind imaginäre Zahlen, die fast immer mit i geschrieben werden, nicht wirklich „imaginär“. Sie wurden ursprünglich als „imaginär“ bezeichnet, da sie ein abstraktes Konzept darstellen, das bei seiner Entdeckung nicht besonders nützlich schien. Mit der Zeit wurden sie weiter verbreitet und akzeptiert, aber da war es schon zu spät. Der Name blieb. Heute werden imaginäre Zahlen oft in der Wissenschaft verwendet, wie zum Beispiel beim Berechnen des Verhaltens von Schallwellen, in der Quantenmechanik und Relativistik.
Da imaginäre Zahlen die Lösungen der Quadratwurzeln von negativen Zahlen darstellen, können wir sie verwenden, um quadratische Gleichungen zu lösen, die keine reellen Wurzeln haben (das heißt, sie schneiden die x-Achse nicht, wenn man sie graphisch darstellt).