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Lösung - Geometrische Folgen

Der gemeinsame Quotient ist:

r = 42, 857142857142854

r=42,857142857142854

Die Summe dieser Reihe ist:

s = 307

s=307

Die allgemeine Form dieser Reihe ist:

a_{n} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{n - 1}

a_n=7*42,857142857142854^(n-1)

Das n-te Glied dieser Reihe ist:

7, 300, 12857, 142857142855, 551020, 4081632652, 23615160, 34985422, 1012078300, 7080381, 43374784316, 05877, 1858919327831, 0898, 79667971192760, 98, 3414341622546899

7,300,12857,142857142855,551020,4081632652,23615160,34985422,1012078300,7080381,43374784316,05877,1858919327831,0898,79667971192760,98,3414341622546899

Schritte ansehen

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Finde den gemeinsamen Quotienten

Finde den gemeinsamen Quotienten durch Dividieren eines beliebigen Glieds in der Folge vom unmittelbar vorangehenden Glied:

$a_{2} a_{1} = \frac{300}{7} = 42, 857142857142854$

Der gemeinsame Quotient ( $r$ ) der Folge ist konstant und entspricht dem Quotienten zweier aufeinanderfolgender Glieder.
$r = 42, 857142857142854$

2. Berechne die Summe.

5 zusätzliche schritte

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Setze zum Ermitteln der Summe der Reihe das erste Glied: $a = 7$ , den gemeinsamen Quotienten: $r = 42, 857142857142854$ und die Anzahl der Elemente $n = 2$ in die Summenformel für geometrische Reihen ein:

$s_{2} = 7 * ((1 - 42, 857142857142854^{2}) / (1 - 42, 857142857142854))$

$s_{2} = 7 * ((1 - 1836, 7346938775509) / (1 - 42, 857142857142854))$

$s_{2} = 7 * (- 1835, 7346938775509 / (1 - 42, 857142857142854))$

$s_{2} = 7 * (- 1835, 7346938775509 / - 41, 857142857142854)$

$s_{2} = 7 \cdot 43, 857142857142854$

$s_{2} = 307$

3. Finde die allgemeine Form

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Setze zum Ermitteln der allgemeinen Form der Reihe das erste Glied: $a = 7$ und den gemeinsamen Quotienten: $r = 42, 857142857142854$ in die Formel für geometrische Reihen ein:

$a_{n} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{n - 1}$

4. Finde das n-te Glied

Verwende die allgemeine Form, um das n-te Glied zu finden.

$a_{1} = 7$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{2 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{1} = 7 \cdot 42, 857142857142854 = 300$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{3 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{2} = 7 \cdot 1836, 7346938775509 = 12857, 142857142855$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{4 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{3} = 7 \cdot 78717, 20116618075 = 551020, 4081632652$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{5 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{4} = 7 \cdot 3373594, 33569346 = 23615160, 34985422$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{6 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{5} = 7 \cdot 144582614, 38686258 = 1012078300, 7080381$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{7 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{6} = 7 \cdot 6196397759, 436967 = 43374784316, 05877$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{8 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{7} = 7 \cdot 265559903975, 87 = 1858919327831, 0898$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{9 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{8} = 7 \cdot 11381138741822, 998 = 79667971192760, 98$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{10 - 1} = 7 \cdot 42, 857142857142854^{9} = 7 \cdot 487763088935271, 3 = 3414341622546899$

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Warum sollte ich das lernen?

Geometrische Sequenzen werden häufig verwendet, um Konzepte in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen, Biologie, Wirtschaft, Informatik, Finanzen und mehr zu erklären, was sie zu einem sehr nützlichen Werkzeug in unserer Werkzeugkiste macht. Eine der häufigsten Anwendungen geometrischer Sequenzen ist beispielsweise die Berechnung von verdienten oder unbezahlten compound Zinsen, eine Aktivität, die am häufigsten mit Finanzen in Verbindung gebracht wird und die bedeuten könnte, viel Geld zu verdienen oder zu verlieren! Weitere Anwendungen umfassen, sind aber nicht beschränkt auf, die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, die Messung von Radioaktivität über die Zeit und das Design von Gebäuden.

Begriffe und Themen

Geometrische Folgen