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Lösung - Geometrische Folgen

Der gemeinsame Quotient ist:

r = 5

r=5

Die Summe dieser Reihe ist:

s = 7020

s=7020

Die allgemeine Form dieser Reihe ist:

a_{n} = 45 \cdot 5^{n - 1}

a_n=45*5^(n-1)

Das n-te Glied dieser Reihe ist:

45, 225, 1125, 5625, 28125, 140625, 703125, 3515625, 17578125, 87890625

45,225,1125,5625,28125,140625,703125,3515625,17578125,87890625

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Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Finde den gemeinsamen Quotienten

Finde den gemeinsamen Quotienten durch Dividieren eines beliebigen Glieds in der Folge vom unmittelbar vorangehenden Glied:

$a_{2} a_{1} = \frac{225}{45} = 5$

$a_{3} a_{2} = \frac{1125}{225} = 5$

$a_{4} a_{3} = \frac{5625}{1125} = 5$

Der gemeinsame Quotient ( $r$ ) der Folge ist konstant und entspricht dem Quotienten zweier aufeinanderfolgender Glieder.
$r = 5$

2. Berechne die Summe.

5 zusätzliche schritte

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Setze zum Ermitteln der Summe der Reihe das erste Glied: $a = 45$ , den gemeinsamen Quotienten: $r = 5$ und die Anzahl der Elemente $n = 4$ in die Summenformel für geometrische Reihen ein:

$s_{4} = 45 * ((1 - 5^{4}) / (1 - 5))$

$s_{4} = 45 * ((1 - 625) / (1 - 5))$

$s_{4} = 45 * (- 624 / (1 - 5))$

$s_{4} = 45 * (- 624 / - 4)$

$s_{4} = 45 \cdot 156$

$s_{4} = 7020$

3. Finde die allgemeine Form

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Setze zum Ermitteln der allgemeinen Form der Reihe das erste Glied: $a = 45$ und den gemeinsamen Quotienten: $r = 5$ in die Formel für geometrische Reihen ein:

$a_{n} = 45 \cdot 5^{n - 1}$

4. Finde das n-te Glied

Verwende die allgemeine Form, um das n-te Glied zu finden.

$a_{1} = 45$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{2 - 1} = 45 \cdot 5^{1} = 45 \cdot 5 = 225$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{3 - 1} = 45 \cdot 5^{2} = 45 \cdot 25 = 1125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{4 - 1} = 45 \cdot 5^{3} = 45 \cdot 125 = 5625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{5 - 1} = 45 \cdot 5^{4} = 45 \cdot 625 = 28125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{6 - 1} = 45 \cdot 5^{5} = 45 \cdot 3125 = 140625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{7 - 1} = 45 \cdot 5^{6} = 45 \cdot 15625 = 703125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{8 - 1} = 45 \cdot 5^{7} = 45 \cdot 78125 = 3515625$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{9 - 1} = 45 \cdot 5^{8} = 45 \cdot 390625 = 17578125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot 5^{10 - 1} = 45 \cdot 5^{9} = 45 \cdot 1953125 = 87890625$

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Warum sollte ich das lernen?

Geometrische Sequenzen werden häufig verwendet, um Konzepte in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen, Biologie, Wirtschaft, Informatik, Finanzen und mehr zu erklären, was sie zu einem sehr nützlichen Werkzeug in unserer Werkzeugkiste macht. Eine der häufigsten Anwendungen geometrischer Sequenzen ist beispielsweise die Berechnung von verdienten oder unbezahlten compound Zinsen, eine Aktivität, die am häufigsten mit Finanzen in Verbindung gebracht wird und die bedeuten könnte, viel Geld zu verdienen oder zu verlieren! Weitere Anwendungen umfassen, sind aber nicht beschränkt auf, die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, die Messung von Radioaktivität über die Zeit und das Design von Gebäuden.

Begriffe und Themen

Geometrische Folgen