Lösung - Eigenschaften von Ellipsen

$$h$$ stellt den x-Versatz vom Ursprung dar.
$$k$$ stellt den y-Versatz vom Ursprung dar.
Um die Werte von $$h$$ und $$k$$ zu finden, benutze die Standardform der vertikalen Ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{112}{3}}+\frac{y^2}{56}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Mittelpunkt: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ stellt den längeren Radius der Ellipse dar, der gleich der Hälfte der Hauptachse ist.
Dies wird die Halb-Hauptachse genannt.
Um den Wert von $$a$$ zu finden, verwende die Standardform der vertikalen Ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{112}{3}}+\frac{y^2}{56}=1$$
$$a^2=56$$
Nehme die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung:
$$a=7,483$$

Weil $$a$$ eine Entfernung darstellt, hat es nur einen positiven Wert.

Bei einer vertikalen Ellipse verläuft die Hauptachse parallel zur y-Achse und durchläuft die Scheitelpunkte der Ellipse. Bestimme die Scheitelpunkte, indem du $$a$$ zur y-Koordinate ($$k$$) des Zentrums addierst und subtrahierst.

Um Vertex_1 zu finden, addiere $$a$$ zur y-Koordinate ($$k$$) des Mittelpunktes:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Mittelpunkt: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=7.483$$
Vertex_1: $$\left(0,0+7.483\right)$$
Vertex_1: $$\left(0;7.483\right)$$

Um Vertex_2 zu finden, subtrahiere $$a$$ von der y-Koordinate ($$k$$) des Mittelpunktes:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Mittelpunkt: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=7,483$$
Vertex_2: $$\left(0,0-7,483\right)$$
Vertex_2: $$\left(0;-7,483\right)$$

$$b$$ stellt den kürzeren Radius der Ellipse dar, der gleich die Hälfte der kleinen Achse ist. Dies wird auch als Halbkleinachse bezeichnet.
Um den Wert von $$b$$ zu finden, verwenden Sie die Standardform für senkrechte Ellipsen:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{112}{3}}+\frac{y^2}{56}=1$$
$$b^2=\frac{112}{3}$$
Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung:
$$b=6,11$$
Da b eine Distanz repräsentiert, hat es nur einen positiven Wert.

Bei einer senkrechten Ellipse verläuft die kleine Achse parallel zur x-Achse und geht durch die Nebenachsen der Ellipse.
Finden Sie die Nebenachsen, indem Sie zu der x-Koordinate ($$h$$) des Zentrums $$b$$ addieren und subtrahieren.

Um Nebenachse_1 zu finden, fügen Sie $$b$$ zu der x-Koordinate ($$h$$) des Zentrums hinzu:
Nebenachse_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=6,11$$
Nebenachse_1: $$\left(0+6,11,0\right)$$
Nebenachse_1: $$\left(6,11;0\right)$$

Um Nebenachse_2 zu finden, subtrahieren Sie $$b$$ von der x-Koordinate ($$h$$) des Zentrums:
Nebenachse_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=6,11$$
Nebenachse_2: $$\left(0-6,11,0\right)$$
Nebenachse_2: $$\left(-6,11;0\right)$$

Die Brennweite ist der Abstand vom Zentrum der Ellipse zu jedem Brennpunkt und wird in der Regel durch $$f$$ dargestellt.

Um $$f$$ zu finden, verwenden Sie die Formel:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=56$$
$$b^2=\frac{112}{3}$$
Stecken Sie $$a^2$$ und $$b^2$$ in die Formel und vereinfachen Sie:

$$f=\sqrt{56-\frac{112}{3}}$$

$$f=\sqrt{\frac{56}{3}}$$

$$f=4,32$$

Weil $$f$$ eine Entfernung darstellt, hat es nur einen positiven Wert.

Bei einer vertikalen Ellipse verläuft die Hauptachse parallel zur y-Achse und durch die Brennpunkte.
Finden Sie die Brennpunkte, indem Sie zu der y-Koordinate ($$k$$ des Zentrums $$f$$ addieren und subtrahieren.

Um Fokus_1 zu finden, addiere $$f$$ zur y-Koordinate $$\left(k\right)$$ des Zentrums:
Fokus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=4,32$$
Fokus_1: $$\left(0,0+4,32\right)$$
Fokus_1: $$\left(0;4,32\right)$$

Um Fokus_2 zu finden, ziehe $$f$$ von der y-Koordinate $$\left(k\right)$$ des Zentrums ab:
Fokus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=4,32$$
Fokus_2: $$\left(0,0-4,32\right)$$
Fokus_2: $$\left(0;-4,32\right)$$

Verwenden Sie die Formel für den Flächeninhalt einer Ellipse, um den Flächeninhalt der Ellipse zu ermitteln:
$$\pi ·a·b$$
$$a=7,483$$
$$b=6,11$$
Setzen Sie $$a$$ und $$b$$ in die Formel ein und vereinfachen Sie:

$$\pi ·7,483·6,11$$

$$\pi ·45,721$$

Die Fläche entspricht $$45,721\pi$$

Um die x-Schnittpunkt(e) zu finden, setzen Sie $$0$$ für $$y$$ in die Standardgleichung der Ellipse ein und lösen Sie die sich ergebende quadratische Gleichung für $$x$$.
Klicken Sie hier für eine Schritt-für-Schritt Erklärung der quadratischen Gleichung.

$$\frac{x^2}{\frac{112}{3}}+\frac{y^2}{56}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{112}{3}}+\frac{0^2}{56}=1$$

$$x_1=6,11$$

$$x_2=-6,11$$

Um die y-Schnittpunkt(e) zu finden, setzen Sie $$0$$ für $$x$$ in die Standardgleichung der Ellipse ein und lösen Sie die sich ergebende quadratische Gleichung für $$y$$.
Klicken Sie hier für eine Schritt-für-Schritt Erklärung der quadratischen Gleichung.

$$\frac{x^2}{\frac{112}{3}}+\frac{y^2}{56}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{112}{3}}+\frac{y^2}{56}=1$$

$$y_1=7,483$$

$$y_2=-7,483$$

Um die Exzentrizität zu finden, verwenden Sie die Formel:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=56$$
$$b^2=\frac{112}{3}$$
$$a=7,483$$
Setzen Sie $$a^2$$ , $$b^2$$ und $$a$$ in die Formel ein:

$$\frac{\sqrt{56-\frac{112}{3}}}{7,483}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{56}{3}}}{7,483}$$

$$\frac{4,32}{7,483}$$

$$0,577$$

Die Exzentrizität entspricht $$0,577$$