Lösung - Eigenschaften von Ellipsen

$$a$$ steht für den längeren Radius der Ellipse, der der Hälfte der Hauptachse entspricht. Dies nennt man die Halb-Hauptachse.
Um den Wert von $$a$$ zu finden, verwenden Sie die Standardform einer Horizontalellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=9$$
Nehmen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung:
$$a=3$$

Weil $$a$$ eine Entfernung darstellt, hat es nur einen positiven Wert.

Bei einer horizontalen Ellipse verläuft die Hauptachse parallel zur x-Achse und durchläuft die Scheitelpunkte der Ellipse. Bestimme die Scheitelpunkte, indem du $$a$$ zur x-Koordinate ($$h$$) des Zentrums addierst und subtrahierst.

Um Scheitelpunkt_1 zu finden, addiere $$a$$ zur x-Koordinate $$\left(h\right)$$ des Zentrums:
Scheitelpunkt_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(1,-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$a=3$$
Scheitelpunkt_1: $$\left(1+3,-5\right)$$
Scheitelpunkt_1: $$\left(4;-5\right)$$

Um vertex_2 zu finden, subtrahieren Sie $$a$$ von der x-Koordinate ($$h$$) des Zentrums:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(1,-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$a=3$$
Vertex_2: $$\left(1-3,-5\right)$$
Vertex_2: $$\left(-2;-5\right)$$

$$b$$ stellt den kleineren Radius der Ellipse dar, der gleich der Hälfte der kleinen Achse ist. Dies wird als Halbkleinachse bezeichnet.
Um den Wert von $$b$$ zu finden, verwenden Sie die Standardform der horizontalen Ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten der Gleichung:
$$b=2$$
Da b eine Entfernung darstellt, hat es nur einen positiven Wert.

In einer horizontalen Ellipse verläuft die kleinere Achse parallel zur y-Achse und geht durch die Kovertecken der Ellipse.
Finde die Kovertecken, indem du $$b$$ zur y-Koordinate $$\left(k\right)$$ des Zentrums hinzufügst und subtrahierst.

Um die Ko-Vertex_1 zu finden, füge $$b$$ zur y-Koordinate $$\left(k\right)$$ des Zentrums hinzu:
Ko-Vertex_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$b=2$$
Ko-Vertex_1: $$\left(1,-5+2\right)$$
Ko-Vertex_1: $$\left(1;-3\right)$$

Um die Ko-Vertex_2 zu finden, subtrahiere $$b$$ von der y-Koordinate $$\left(k\right)$$ des Zentrums:
Ko-Vertex_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$b=2$$
Ko-Vertex_2: $$\left(1,-5-2\right)$$
Ko-Vertex_2: $$\left(1;-7\right)$$

Die Brennweite ist der Abstand vom Zentrum der Ellipse zu jedem Brennpunkt und wird normalerweise mit $$f$$ dargestellt.
Um $$f$$ zufinden, benutze die Formel:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
Stecke $$a^2$$ und $$b^2$$ in die Formel und vereinfache:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2,236$$

Weil $$f$$ eine Entfernung darstellt, hat es nur einen positiven Wert.

In einer horizontalen Ellipse verläuft die Hauptachse parallel zur x-Achse und durch die Brennpunkte.
Finde die Brennpunkte, indem du $$f$$ zur x-Koordinate $$\left(h\right)$$ des Zentrums hinzufügst und abziehst.

Um den Brennpunkt_1 zu finden, füge $$f$$ zur x-Koordinate $$\left(h\right)$$ des Zentrums hinzu:
Brennpunkt_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$f=2,236$$
Brennpunkt_1: $$\left(1+2,236,-5\right)$$
Brennpunkt_1: $$\left(3,236;-5\right)$$

Um den Brennpunkt_2 zu finden, ziehe $$f$$ von der x-Koordinate $$\left(h\right)$$ des Zentrums ab:
Brennpunkt_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Zentrum: $$\left(h,k\right)=\left(1;-5\right)$$
$$h=1$$
$$k=-5$$
$$f=2,236$$
Brennpunkt_2: $$\left(1-2,236,-5\right)$$
Brennpunkt_2: $$\left(-1,236;-5\right)$$

Verwenden Sie die Formel für den Flächeninhalt einer Ellipse, um den Flächeninhalt der Ellipse zu ermitteln:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
Setzen Sie $$a$$ und $$b$$ in die Formel ein und vereinfachen Sie:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

Die Fläche entspricht $$6\pi$$

Um die x-Schnittpunkt(e) zu finden, setzen Sie $$0$$ für $$y$$ in die Standardgleichung der Ellipse ein und lösen Sie die sich ergebende quadratische Gleichung für $$x$$.
Klicken Sie hier für eine Schritt-für-Schritt Erklärung der quadratischen Gleichung.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(0+5\right)}^2}{4}=1$$

$$\sqrt{-}\frac{21}{4}$$

Um die y-Schnittpunkt(e) zu finden, setzen Sie $$0$$ für $$x$$ in die Standardgleichung der Ellipse ein und lösen Sie die sich ergebende quadratische Gleichung für $$y$$.
Klicken Sie hier für eine Schritt-für-Schritt Erklärung der quadratischen Gleichung.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=-3,114$$

$$y_2=-6,886$$

Um die Exzentrizität zu finden, verwenden Sie die Formel:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
Setzen Sie $$a^2$$ , $$b^2$$ und $$a$$ in die Formel ein:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2,236}{3}$$

$$0,745$$

Die Exzentrizität entspricht $$0,745$$