Lösung - Ermitteln des Definitionsbereichs und Wertebereichs einer Beziehung von geordneten Paaren
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Ermitteln des Definitionsbereichs und Wertebereichs einer Beziehung von geordneten PaarenSchritt-für-Schritt-Erklärung
1. Ermittle den Definitionsbereich der geordneten Paare
Der Definitionsbereich ist eine Menge, die aus den x-Werten der geordneten Paare besteht: (3,4),(3,5),(4,4),(4,5)
Definitionsbereich: {3,3,4,4}
2. Ermittle den Wertebereich der geordneten Paare
Der Wertebereich ist eine Menge, die aus den y-Werten der geordneten Paare besteht: (3,4),(3,5),(4,4),(4,5)
Wertebereich: {4,5,4,5}
3. Ermittle, ob die Beziehung eine Funktion ist
Eine Relation wird als Funktion betrachtet, wenn jede x-Eingabe nur eine y-Ausgabe hat.
| Definitionsbereich X-Werte Eingabe | Wertebereich Y-Werte Ausgabe |
| 3 | 4 |
| 3 | 5 |
| 4 | 4 |
| 4 | 5 |
Die Zahl 3 hat 2 verschiedene y-Ausgaben, daher ist die Liste der geordneten Paare keine Funktion.
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Eine funktionale Beziehung
Funktionen sind mathematische Darstellungen von Beziehungen zwischen Eingaben und Ausgaben. Ein einfaches Beispiel ist das Einsetzen von in , was ergibt. Viele dieser funktionalen Beziehungen finden wir auch in unserem täglichen Leben. Beispielsweise ist die Distanz, die ein Auto zurücklegen kann, eine Funktion davon, wie viele Liter Benzin im Tank sind. Die Funktion eines Autos, das mit 1 Liter Benzin 15 Kilometer fahren kann, lautet . In dieser Funktion ist der Definitionsbereich oder die Eingabe in die Funktion und stellt die Anzahl an Litern Benzin dar, die getankt werden. ist der Wertebereich oder die Ausgabe der Funktion und stellt die Distanz in Kilometern dar, die das Auto fahren kann.
Diese Funktion unterliegt jedoch einigen Einschränkungen. Es ist unmöglich, den Benzintank mit weniger als null Litern Benzin zu füllen, und wir können auch nicht mehr Benzin einfüllen, als der Tank aufnehmen kann. Wir können außerdem nur Benzin einfüllen, sonst fährt das Auto nicht. In der Funktion bedeutet das, dass größer als null und kleiner als das Tankvolumen des Autos sein muss und nur Benzin repräsentiert. Der Definitionsbereich der Funktion deckt nicht alle Möglichkeiten ab, sondern es gibt Einschränkungen, was wir in diese Funktion einsetzen können. Das Gleiche gilt für den Wertebereich, das heißt, die Ausgabe der Funktion. Es ist unmöglich, dass das Auto weniger als null Kilometer fährt. Außerdem kann es nicht mehr als das 15-Fache des Tankvolumens zurücklegen.
Jede Funktion hat eine Menge von möglichen Eingaben, die als der Definitionsbereich bezeichnet wird, und eine Menge von möglichen Ausgaben, den Wertebereich. Diese können unendlich sein, bestimmte Zahlen ausschließen, nur positiv sein oder andere Bedingungen umfassen. Alle Funktionen haben jedoch genau eine Ausgabe für eine Eingabe. Ansonsten handelt es sich nicht um eine Funktion.
Um eine Funktion zu verstehen, müssen wir ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich kennen.