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Lösung - Ableitung

- \frac{\cos (x) \cot (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)}

- \frac{\cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\csc{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Schritte ansehen

Schritt-für-Schritt-Erklärung

1. Ableitung lösen

Die Produktregel der Ableitungen anwenden.

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \times \csc (x)] = \frac{d}{d x} [\cot (x)] \times \csc (x) + \cot (x) \times \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

8 zusätzliche schritte

Die Ableitung einer Kotangensfunktion berechnen.

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] \times \csc (x) + \cot (x) \times \frac{d}{d x} [\csc (x)] = - \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \csc (x) + \cot (x) \times \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Der Kotangens eines Winkels ist gleich dem Kosinus des Winkels geteilt durch den Sinus des Winkels.

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] = \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Die Ableitung eines Bruchs berechnen.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}] = \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] \times \sin (x) - \cos (x) \times \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin {(x)}^{2}}$

Die Ableitung einer Kosinusfunktion berechnen.

$\frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] \times \sin (x) - \cos (x) \times \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin {(x)}^{2}} = \frac{- \sin (x) \times \sin (x) - \cos (x) \times \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin {(x)}^{2}}$

Die Ableitung einer Sinusfunktion berechnen.

$\frac{- \sin (x) \times \sin (x) - \cos (x) \times \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin {(x)}^{2}} = \frac{- \sin (x) \times \sin (x) - \cos (x) \times \cos (x)}{\sin {(x)}^{2}}$

Das Multiplizieren der gleichen Zahlen.

$\frac{- \sin (x) \times \sin (x) - \cos (x) \times \cos (x)}{\sin {(x)}^{2}} = \frac{- \sin {(x)}^{2} - \cos (x) \times \cos (x)}{\sin {(x)}^{2}}$

Das Multiplizieren der gleichen Zahlen.

$\frac{- \sin {(x)}^{2} - \cos (x) \times \cos (x)}{\sin {(x)}^{2}} = \frac{- \sin {(x)}^{2} - \cos {(x)}^{2}}{\sin {(x)}^{2}}$

Das Zusammenfassen negativer Terme.

$\frac{- \sin {(x)}^{2} - \cos {(x)}^{2}}{\sin {(x)}^{2}} = \frac{- (\sin {(x)}^{2} + \cos {(x)}^{2})}{\sin {(x)}^{2}}$

Das Quadrat des Sinus eines Winkels plus das Quadrat des Kosinus des gleichen Winkels ist immer gleich eins.

$\frac{- (\sin {(x)}^{2} + \cos {(x)}^{2})}{\sin {(x)}^{2}} = \frac{- 1}{\sin {(x)}^{2}}$

Das Setzen des Minuszeichens vor einen Bruch.

$\frac{- 1}{\sin {(x)}^{2}} = - \frac{1}{\sin {(x)}^{2}}$

2 zusätzliche schritte

Die Ableitung einer Kosekansfunktion berechnen.

$- \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \csc (x) + \cot (x) \times \frac{d}{d x} [\csc (x)] = - \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \csc (x) + \cot (x) \times (- \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \cos (x))$

Die Kosekans eines Winkels ist gleich eins geteilt durch den Sinus des Winkels.

$\frac{d}{d x} [\csc (x)] = \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]$

Die Ableitung eines Kehrwerts berechnen.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}] = - \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Die Ableitung einer Sinusfunktion berechnen.

$- \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \frac{d}{d x} [\sin (x)] = - \frac{1}{\sin {(x)}^{2}} \times \cos (x)$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \times \csc (x) + \cot (x) \times (- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \times \cos (x)) = - \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot (x) \times (- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \times \cos (x))$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$- \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot (x) \times (- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \times \cos (x)) = - \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot (x) \times (- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$- \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot (x) \times (- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}) = - \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cot (x)}{\sin^{2} (x)}$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$- \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cot (x)}{\sin^{2} (x)} = - \frac{\cos (x) \cot (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\csc (x)}{\sin^{2} (x)}$

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Warum sollte ich das lernen?

Hast du dich je gefragt, ob du die Zukunft vorhersagen kannst? Ableitungen sind deine Kristallkugel!

Stell dir das vor: Du bist ein Surfer und möchtest die größte Welle erwischen. Wie weißt du, wann sie kommt? Ableitungen können dir sagen, wann sie ihren höchsten Punkt erreicht!

Raumfahrt: Planst du, eine Rakete zum Mars zu starten? Ableitungen informieren uns über den optimalen Brennstoffverbrauchsrate, um den Kraftstoffverbrauch zu minimieren und die Entfernung zu maximieren!

Börsenhandel: Handelst du an der Börse? Ableitungen können die Änderungsrate von Aktienkursen anzeigen und helfen vorherzusagen, wann der beste Zeitpunkt zum Kaufen oder Verkaufen ist.

Animation: Liebst du animierte Filme? Künstler verwenden Ableitungen, um die Bewegungen und Ausdrücke der Charaktere fließend zu ändern, damit sie lebensechter wirken.

Ingenieurwesen: Entwirfst du eine Brücke oder einen Wolkenkratzer? Ableitungen helfen, die Änderungsratenten von Stress und Belastung in den Materialien zu bestimmen, um die Sicherheit deiner Strukturen zu gewährleisten.

Kurz gesagt, Ableitungen sind wie ein geheimer Code, um Veränderungen zu verstehen und Vorhersagen im wirklichen Leben zu treffen. Lass uns gemeinsam diesen Code knacken und Meister unserer Zukunft werden!

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Ableitung

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