Lösung - Ableitung

Die Ableitung eines Bruchs berechnen.

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{2x}{x^2+1}\right]=\frac{\frac{d}{dx}\left[2x\right]\times \left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die Produktregel der Ableitungen anwenden.

$$\frac{\frac{d}{dx}\left[2x\right]\times \left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[2\right]\times x+2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die Ableitung eines konstanten Werts ist immer null.

$$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[2\right]\times x+2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{\left(0x+2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Eine Zahl mit null multiplizieren ergibt immer null.

$$\frac{\left(0x+2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{\left(0+2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Null zu einer Zahl addieren, was den Wert nicht verändert.

$$\frac{\left(0+2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{\left(2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\times \left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die Ableitung einer Variablen nach sich selbst ergibt immer eins.

$$\frac{\left(2\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)\times \left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{\left(2\times 1\right)\times \left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Eine Zahl mit eins multiplizieren, was den Wert nicht verändert.

$$\frac{\left(2\times 1\right)\times \left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die Summenregel der Ableitungen anwenden.

$$\frac{2\left(x^2+1\right)-2x\times \frac{d}{dx}[x^2+1]}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\left(x^2+1\right)-2x\left(\frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die Ableitung von x hoch n berechnen.

$$\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(\frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x^{2-1}+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Eins von einer Zahl subtrahieren.

$$\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x^{2-1}+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x^1+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Jede Zahl hoch eins ergibt die Zahl selbst.

$$\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x^1+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die Ableitung eines konstanten Werts ist immer null.

$$\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x+\frac{d}{dx}\left[1\right]\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x+0\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$$\frac{2\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(2x+0\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2x^2+2-2x\times \left(2x+0\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Null zu einer Zahl addieren, was den Wert nicht verändert.

$$\frac{2x^2+2-2x\times \left(2x+0\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2x^2+2-2x\times \left(2x\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$$\frac{2x^2+2-2x\times \left(2x\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$

Die arithmetischen Ausdrücke vereinfachen.

$$\frac{2x^2+2-4x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$