Tiger Algebra-Rechner
Systeme von linearen Gleichungen
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die eine Gerade repräsentiert. Sie enthält normalerweise Konstanten und Variablen, die jedoch keine Exponenten oder Wurzeln enthalten können und wird normalerweise auf eine der folgenden Arten geschrieben:
Punktsteigungsform
Zum Beispiel:
Steigungsdurchschnittsform
Zum Beispiel:
Normalform
Zum Beispiel:
Hinweis: In dieser Form dürfen und nicht beide gleich null sein ().
Obwohl diese Gleichungen alle unterschiedlich aussehen, repräsentieren sie eigentlich alle dieselbe Gerade. Wenn du Zugang zu einem graphischen Taschenrechner hast, versuche, jede Gleichung zu zeichnen und vergleiche die Ergebnisse. Die Diagramme werden alle gleich sein!
Gleichungssysteme
Manchmal sind wir mit zwei oder mehr Gleichungen konfrontiert, die durch die gleiche Variable oder die gleichen Variablen erfüllt werden können.
Zum Beispiel:
Wenn und sind, sind beide Gleichungen wahr.
Diese werden als lineare Gleichungssysteme bezeichnet, und ihre Variablen können wir mit einem von zwei Methoden herausfinden: Eliminierung und Substitution.
Lösung durch Eliminierung
Hauptfaktoren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems durch Eliminierung:
1. Schreibe die Gleichungen so um, dass die Variablen in der gleichen Reihenfolge stehen:
würde werden zu
2. Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit Nicht-Null-Zahlen, die dafür sorgen würden, dass ein Satz Begriffe sich bei Addition oder Subtraktion aufhebt:
würde werden zu
3. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen, um ihre gemeinsame Variable zu eliminieren:
4. Löse die Gleichung, um die verbleibende Variable zu isolieren:
5. Setze diese Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und vereinfache zur Isolierung der verbleibenden Variable:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
6. Wiederhole dies bei Bedarf, zum Beispiel wenn es mehr als zwei lineare Gleichungen in dem System gibt.
Lösung durch Substitution
Die Hauptfaktoren zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen durch Substitution:
1. Löse für oder in einer der Gleichungen, indem du die Variable isolierst:
2. Setze die resultierende Variable in die andere Gleichung ein und löse sie:
3. Setze die resultierende Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
4. Wiederhole dies bei Bedarf, zum Beispiel wenn es mehr als zwei lineare Gleichungen in dem System gibt.
Es gibt drei mögliche Lösungstypen für lineare Gleichungssysteme:
Keine Lösung : Es gibt keine Variablen, die alle Gleichungen im System wahr machen würden. Auf einem Graphen berühren sich die Linien, die die Gleichungen repräsentieren, nicht. Wenn es sich um lineare Gleichungen handelt, verlaufen diese Linien parallel zueinander.
Eine Lösung : Es gibt eine Gruppe von Variablen, die alle Gleichungen in dem System wahr machen würden. Auf einem Graphen kreuzen sich die Linien, die die Gleichungen repräsentieren, einmal. Der Punkt, an dem sie sich kreuzen, ist die Lösung des Systems.
Unendlich viele Lösungen : Es gibt unendlich viele mögliche Variablen, die alle Gleichungen in dem System wahr machen würden. Diese Situation tritt auf, wenn alle Gleichungen im System gleich sind oder Variationen derselben Gleichung sind und somit dieselbe Gerade repräsentieren.
Andere relevante Begriffe:
Konsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind konsistent, wenn sie eine oder unendlich viele Lösungen haben. Zum Beispiel: und sind konsistent, weil sie eine Lösung teilen, nämlich .
Inkonsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind inkonsistent, wenn sie keine gemeinsamen Lösungen haben, das heißt, ihre Linien haben keine gemeinsamen Punkte. Die Linien von inkonsistenten Gleichungen laufen parallel zueinander. Zum Beispiel: und sind inkonsistent, weil in jeder Gleichung einen anderen Wert hat, das heißt, die Gleichungen teilen keine Lösungen.
Unabhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind unabhängig, wenn sie verschiedene Linien repräsentieren.
Abhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind abhängig, wenn sie dieselbe Linie repräsentieren, womit jede Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Abhängige Gleichungen treten auf, wenn eine Gleichung in verschiedenen Formen geschrieben ist. Zum Beispiel: und repräsentieren dieselbe Linie und sind daher abhängig.
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die eine Gerade repräsentiert. Sie enthält normalerweise Konstanten und Variablen, die jedoch keine Exponenten oder Wurzeln enthalten können und wird normalerweise auf eine der folgenden Arten geschrieben:
Punktsteigungsform
Zum Beispiel:
Steigungsdurchschnittsform
Zum Beispiel:
Normalform
Zum Beispiel:
Hinweis: In dieser Form dürfen und nicht beide gleich null sein ().
Obwohl diese Gleichungen alle unterschiedlich aussehen, repräsentieren sie eigentlich alle dieselbe Gerade. Wenn du Zugang zu einem graphischen Taschenrechner hast, versuche, jede Gleichung zu zeichnen und vergleiche die Ergebnisse. Die Diagramme werden alle gleich sein!
Gleichungssysteme
Manchmal sind wir mit zwei oder mehr Gleichungen konfrontiert, die durch die gleiche Variable oder die gleichen Variablen erfüllt werden können.
Zum Beispiel:
Wenn und sind, sind beide Gleichungen wahr.
Diese werden als lineare Gleichungssysteme bezeichnet, und ihre Variablen können wir mit einem von zwei Methoden herausfinden: Eliminierung und Substitution.
Lösung durch Eliminierung
Hauptfaktoren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems durch Eliminierung:
1. Schreibe die Gleichungen so um, dass die Variablen in der gleichen Reihenfolge stehen:
würde werden zu
2. Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit Nicht-Null-Zahlen, die dafür sorgen würden, dass ein Satz Begriffe sich bei Addition oder Subtraktion aufhebt:
würde werden zu
3. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen, um ihre gemeinsame Variable zu eliminieren:
4. Löse die Gleichung, um die verbleibende Variable zu isolieren:
5. Setze diese Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und vereinfache zur Isolierung der verbleibenden Variable:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
6. Wiederhole dies bei Bedarf, zum Beispiel wenn es mehr als zwei lineare Gleichungen in dem System gibt.
Lösung durch Substitution
Die Hauptfaktoren zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen durch Substitution:
1. Löse für oder in einer der Gleichungen, indem du die Variable isolierst:
2. Setze die resultierende Variable in die andere Gleichung ein und löse sie:
3. Setze die resultierende Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
4. Wiederhole dies bei Bedarf, zum Beispiel wenn es mehr als zwei lineare Gleichungen in dem System gibt.
Es gibt drei mögliche Lösungstypen für lineare Gleichungssysteme:
Keine Lösung : Es gibt keine Variablen, die alle Gleichungen im System wahr machen würden. Auf einem Graphen berühren sich die Linien, die die Gleichungen repräsentieren, nicht. Wenn es sich um lineare Gleichungen handelt, verlaufen diese Linien parallel zueinander.
Eine Lösung : Es gibt eine Gruppe von Variablen, die alle Gleichungen in dem System wahr machen würden. Auf einem Graphen kreuzen sich die Linien, die die Gleichungen repräsentieren, einmal. Der Punkt, an dem sie sich kreuzen, ist die Lösung des Systems.
Unendlich viele Lösungen : Es gibt unendlich viele mögliche Variablen, die alle Gleichungen in dem System wahr machen würden. Diese Situation tritt auf, wenn alle Gleichungen im System gleich sind oder Variationen derselben Gleichung sind und somit dieselbe Gerade repräsentieren.
Andere relevante Begriffe:
Konsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind konsistent, wenn sie eine oder unendlich viele Lösungen haben. Zum Beispiel: und sind konsistent, weil sie eine Lösung teilen, nämlich .
Inkonsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind inkonsistent, wenn sie keine gemeinsamen Lösungen haben, das heißt, ihre Linien haben keine gemeinsamen Punkte. Die Linien von inkonsistenten Gleichungen laufen parallel zueinander. Zum Beispiel: und sind inkonsistent, weil in jeder Gleichung einen anderen Wert hat, das heißt, die Gleichungen teilen keine Lösungen.
Unabhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind unabhängig, wenn sie verschiedene Linien repräsentieren.
Abhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind abhängig, wenn sie dieselbe Linie repräsentieren, womit jede Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Abhängige Gleichungen treten auf, wenn eine Gleichung in verschiedenen Formen geschrieben ist. Zum Beispiel: und repräsentieren dieselbe Linie und sind daher abhängig.