Tiger Algebra-Rechner

Ein Bruch ist ein kleineres Teil eines Ganzen und wird üblicherweise als ein Zähler, der den kleineren Teil repräsentiert, über einem Nenner geschrieben, der das Ganze darstellt. Um die Bruchzahl als eine einzige Zahl, den Quotienten, zu schreiben, dividieren wir den Zähler durch den Nenner. Es gibt drei wichtige Arten von Brüchen:

• Echte oder eigentliche Brüche: Hier ist der Zähler kleiner als der Nenner. $$\frac{1}{4}$$ ist ein echter oder eigentlicher Bruch.


• Unechte oder uneigentliche Brüche: Hier ist der Zähler größer als der Nenner. $$\frac{5}{4}$$ ist ein unechter oder uneigentlicher Bruch.


• Gemischter Bruch: eine ganze Zahl kombiniert mit einem echten oder eigentlichen Bruch. $$2\frac{3}{4}$$ ist ein gemischter Bruch.

Es muss angemerkt werden, dass unechte oder uneigentliche Brüche und gemischte Brüche verwendet werden können, um die gleichen Werte auszudrücken. Zum Beispiel, $$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$. Beim Rechnen mit Brüchen ist es üblicherweise einfacher, zuerst alle ganzen Zahlen und/oder gemischten Brüche in unechte/uneigentliche Brüche umzuwandeln:

• Um eine ganze Zahl in einen unechten bzw. uneigentlichen Bruch umzuwandeln, schreiben wir einfach die ganze Zahl über $$1$$. Zum Beispiel wird $$3$$ zu $$\frac{3}{1}$$.
• Um einen gemischten Bruch in einen unechten bzw. uneigentlichen Bruch umzuwandeln, multiplizieren wir den Nenner (die untere Zahl) mit der ganzen Zahl (der Zahl vor oder links neben dem Bruch), addieren das Produkt zum Zähler (der oberen Zahl) und schreiben die Summe als den neuen Zähler über den ursprünglichen Nenner. Beim Umwandeln von $$2\frac{3}{4}$$ in einen unechten oder uneigentlichen Bruch multiplizieren wir den Nenner, $$4$$ mit der ganzen Zahl, $$2$$, und erhalten $$8$$. Danach addieren wir das zum Zähler, $$3$$, und erhalten $$11$$, die wir über den ursprünglichen Nenner schreiben, $$4$$, und erhalten $$\frac{11}{4}$$.

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Die allgemeine Regel zum Addieren von Brüchen lautet: $$a/b+c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)+\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad+bc\right)/\left(bd\right)$$ Die allgemeine Regel für das Subtrahieren von Brüchen lautet: $$a/b-c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)-\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad-bc\right)/\left(bd\right)$$ Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen erfolgt in 4 Schritten:

1. Vereinfache die Brüche durch Kürzen, wenn möglich. Dividiere den Zähler (obere Zahl) und den Nenner (untere Zahl) durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der ggT einer Zahlenmenge ist die größte Zahl, durch die alle Zahlen in der Menge ohne Rest dividiert werden können. Zum Beispiel ist $$3$$ die größte Zahl, durch die $$3$$ und $$9$$ gleichmäßig dividiert werden können, deshalb können wir den Zähler und den Nenner von $$\frac{3}{9}$$ durch $$3$$ dividieren, um den Bruch auf $$\frac{1}{3}$$ zu kürzen. Ein weiteres Beispiel ist $$\frac{4}{16}$$, das auf $$\frac{1}{4}$$ gekürzt werden kann.


2. Ermittle den gemeinsamen Nenner der Brüche. Es gibt zwei Arten, um den gemeinsamen Nenner zu ermitteln:
   1. Multipliziere die obere und die untere Zahl jedes Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs. Zum Beispiel, $$1/3+1/4=\left(1·4\right)/\left(3·4\right)+\left(1·3\right)/\left(4·3\right)=\left(1·4\right)/12+\left(1·3\right)/12=4/12+3/12$$
   2. Ermittle den kleinsten gemeinsamer Nenner. Wir ermitteln das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner und verwenden es als den gemeinsamen Nenner. Es gibt zwei Möglichkeiten, das kgV zu ermitteln: Auflisten der Vielfachen der Zahlen (Rechner in Kürze verfügbar!) und durch Primfaktorzerlegung.


3. Addiere oder Subtrahiere die Zähler. Jetzt sollten die Brüche den gleichen Nenner haben, das heißt, wir können einfach die Zähler addieren oder subtrahieren und das Ergebnis über den Nenner schreiben, der wir in den vorhergehenden Schritten ermittelt haben. Zum Beispiel wird $$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$ zu $$\frac{7}{12}$$.


4. Vereinfache den resultierenden Bruch durch Kürzen, wenn möglich, wie oben in Schritt 1 beschrieben. Wenn das Ergebnis zum Beispiel $$\frac{4}{8}$$ ist, können wir es auf $$\frac{1}{2}$$ kürzen.

Multiplizieren von Brüchen

Die allgemeine Regel zum Multiplizieren von Brüchen lautet: $$a/b·c/d=\left(a·c\right)/\left(b·d\right)$$ Das Multiplizieren von Brüchen erfolgt in 4 Schritten:

1. Vereinfache die Brüche durch Kürzen, wenn möglich. Dividiere den Zähler (obere Zahl) und den Nenner (untere Zahl) durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der ggT einer Zahlenmenge ist die größte Zahl, durch die alle Zahlen in der Menge ohne Rest dividiert werden können. Zum Beispiel ist $$3$$ die größte Zahl, durch die $$3$$ und $$9$$ gleichmäßig dividiert werden können, deshalb können wir den Zähler und den Nenner von $$\frac{3}{9}$$ durch $$3$$ dividieren, um den Bruch auf $$\frac{1}{3}$$ zu kürzen. Ein weiteres Beispiel ist $$\frac{4}{16}$$, das auf $$\frac{1}{4}$$ gekürzt werden kann.


2. Multipliziere die Zähler (oberen Zahlen). Beispielsweise würde $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$$ zu $$6/\left(3*5\right)$$


3. Multipliziere die Nenner (unteren Zahlen). Zum Beispiel wird $$6/\left(3*5\right)$$ zu $$\frac{6}{15}$$.


4. Vereinfache den resultierenden Bruch durch Kürzen, wenn möglich, wie oben in Schritt 1 beschrieben. Wenn das Ergebnis zum Beispiel $$\frac{4}{8}$$ ist, können wir es auf $$\frac{1}{2}$$ kürzen.

Dividieren von Brüchen

Das Dividieren von Brüchen ist dem Multiplizieren von Brüchen sehr ähnlich, aber hier gibt es einen zusätzlichen Schritt, bei dem der Zähler und der Nenner des Divisors oder Teilers – das heißt, der Zahl, durch die der andere Bruch dividiert wird – getauscht werden, um die Umkehrung des Teilers zu finden. Ab hier multiplizieren wir die Brüche einfach zusammen. Die allgemeine Regel zum Dividieren von Brüchen lautet: $$\left(a/b\right):\left(c/d\right)=\left(a/b\right)·\left(d/c\right)=\left(a·d\right)/\left(b·c\right)$$ Das Dividieren von Brüchen erfolgt in 5 Schritten:

1. Vereinfache die Brüche durch Kürzen, wenn möglich. Dividiere den Zähler (obere Zahl) und den Nenner (untere Zahl) durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der ggT einer Zahlenmenge ist die größte Zahl, durch die alle Zahlen in der Menge ohne Rest dividiert werden können. Zum Beispiel ist $$3$$ die größte Zahl, durch die $$3$$ und $$9$$ gleichmäßig dividiert werden können, deshalb können wir den Zähler und den Nenner von $$\frac{3}{9}$$ durch $$3$$ dividieren, um den Bruch auf $$\frac{1}{3}$$ zu kürzen. Ein weiteres Beispiel ist $$\frac{4}{16}$$, was wir auf $$\frac{1}{4}$$ kürzen können.


2. Drehe den Bruch, durch den wir dividieren (den Divisor oder Teiler), um, sodass sein Zähler unten steht und sein Nenner oben steht. Beispielsweise würde $$\frac{3}{4}:\frac{1}{3}$$ zu $$\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{1}$$.
   
3. Multipliziere die Nenner (unteren Zahlen). Beispielsweise würde $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$$ zu $$6/\left(3*5\right)$$.


4. Multipliziere die Nenner (unteren Zahlen). Zum Beispiel wird $$6/\left(3*5\right)$$ zu $$\frac{6}{15}$$.


5. Vereinfache den resultierenden Bruch durch Kürzen, wenn möglich, wie oben in Schritt 1 beschrieben. Wenn das Ergebnis zum Beispiel $$\frac{4}{8}$$ ist, können wir es auf $$\frac{1}{2}$$ kürzen.