Tiger Algebra-Rechner

Eine Kombination ist die Anordnung von Elementen einer Menge, wenn die Reihenfolge der Anordnung unwichtig ist. Ein Beispiel wäre die zufällige Auswahl von drei Zahlen aus einer Liste mit neun Zahlen. Hier wäre es egal, wenn zuerst $$1$$, dann $$7$$, dann $$4$$ ausgewählt wird, oder zuerst $$7$$, dann $$1$$, dann $$4$$.
Eine Permutation ist die Anordnung von Elementen einer Menge, wenn die Reihenfolge der Anordnung wichtig ist. Ein Beispiel wäre der Code für ein Schloss. Wenn der Code $$1,7,4$$ ist, dann kann er nicht als $$1,4,7$$ oder $$4,7,1$$ oder in einer anderen Reihenfolge eingegeben werden.
Solange es mehr als ein Element in einer Menge gibt, gibt es immer mehr Permutationen als Kombinationen.

Sowohl Kombinationen als auch Permutationen können Wiederholungen enthalten oder auch nicht. Das heißt, sie können ein oder mehrere Elemente mehrfach enthalten oder auch nicht. Es scheint, als ob dies wenig Unterschied machen würde, allerdings ändern Wiederholungen von Elementen in einer Menge den Rechenansatz stark.

Notations
$$n$$ ist üblicherweise die Gesamtanzahl von Elementen in einer Menge.
$$k$$ repräsentiert üblicherweise die Anzahl von Elementen in einer ausgewählten Teilmenge.
$$C$$ stellt üblicherweise Kombinationen dar.
$$P$$ stellt üblicherweise Permutationen dar.

$$P\left(n,k\right)$$ repräsentiert die Anzahl von verschiedenen Permutationen einer Teilmenge ($$k$$) einer größeren Menge ($$n$$) und kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
FEHLENDES BILD
$$C\left(n,k\right)$$ repräsentiert die Anzahl von verschiedenen Kombinationen einer Teilmenge ($$k$$) einer größeren Menge ($$n$$) und kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
FEHLENDES BILD
Diese Notation wird manchmal auch „n über k“ genannt.

Formeln
Wir verwenden die Fakultät-Funktion zum Lösen von Permutationen und Kombinationen.

Permutationen mit Wiederholung
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Z. B.: Wie viele verschiedene Kombinationen einer Teilmenge von $$3$$ von insgesamt $$9$$ Elementen gibt es, wenn Elemente wiederholt werden können?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutationen ohne Wiederholung
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Z. B.: Wie viele verschiedene Permutationen einer Teilmenge von $$3$$ von insgesamt $$9$$ Elementen gibt es, wenn Elemente nicht wiederholt werden dürfen?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Kombinationen mit Wiederholung
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Z. B.: Wie viele verschiedene Kombinationen einer Teilmenge von $$3$$ von insgesamt $$9$$ Elementen gibt es, wenn Elemente wiederholt werden können?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Kombinationen ohne Wiederholung Link zu dieser Übung
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Z. B.: Wie viele verschiedene Kombinationen einer Teilmenge von $$3$$ von insgesamt $$9$$ Elementen gibt es, wenn Elemente nicht wiederholt werden dürfen?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$