Tiger Algebra-Rechner

Eine geometrische Reihe, auch geometrische Folge oder geometrische Progression genannt, ist eine Gruppe von Zahlen, die durch Multiplikation jeder vorherigen Zahl in der Gruppe mit einer Konstanten gebildet wird. Der Faktor, mit dem jeder nachfolgende Term multipliziert wird, wird als gemeinsames Verhältnis bezeichnet, weil er für alle Terme in der Gruppe gemeinsam ist. Das gemeinsame Verhältnis darf nicht $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$ sein.
Die übliche Darstellung von geometrischen Reihen kann wie folgt ausgedrückt werden:
$$a,ar,a{r}^2,a{r}^3,a{r}^{\mathrm{4...}}$$ darin:

• $$a$$ repräsentiert den ersten Ausdruck und wird manchmal als $$a_1$$ geschrieben.
• $$r$$ repräsentiert das gemeinsame Verhältnis.

Beispiel: Wenn der erste Ausdruck der Folge $$1$$ ist und das gemeinsame Verhältnis $$3$$ ist, dann kann jeder nachfolgende Ausdruck durch Multiplikation des vorherigen Ausdrucks mit 3 erhalten werden, und die Folge sieht dann so aus:
$$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$
Die man auch so schreiben kann:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^{\mathrm{4...}}$$

Formeln
Finden Sie irgendeinen Term ($$a_n$$) in einer geometrischen Reihe:
$$a_n=a·r^{n-1}$$

• $$a$$ repräsentiert den ersten Term.
• $$n$$ repräsentiert die Position eines Terms in der Reihe. Eine Reihe mit $$n$$ Anzahl von Termen wäre zum Beispiel geschrieben als:
  $$a,ar,a{r}^2,a{r}^3,a{r}^{\mathrm{4...}}a·r^{n-1}$$ worin der letzte Ausdruck zur Potenz von $$n-1$$ erhöht wird (weil der erste Ausdruck zur Potenz von $$0$$ erhöht wird).
• $$r$$ repräsentiert das gemeinsame Verhältnis.

Beispiel: Um den nächsten Term in $$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$ zu finden, der der 6. Term wäre, setzen wir folgende Werte in die allgemeine Formel $$a_n=a·r^{n-1}$$:
$$a$$ (erster Term)$$=1$$
$$r$$ (gemeinsames Verhältnis)$$=3$$
$$n$$ (Termnummer)$$=6$$.

Dies ergibt $$a_6=1·3^{6-1}$$, was gelöst $$a_6=243$$ ergibt. Unsere Folge wäre also: $$1,3,9,27,81,\mathrm{243...}$$

Finden Sie die Summe aller Terme in einer geometrischen Reihe:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ ist die Summe der Terme in der Reihe.
• $$a$$ repräsentiert den ersten Term.
• $$n$$ repräsentiert die Position eines Terms in der Reihe.
• $$r$$ repräsentiert das gemeinsame Verhältnis.

Beispiel: Um die Summe von $$1,3,9,27,81$$ zu finden, setzen wir die folgenden Werte in die Summenformel, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (erster Term)$$=1$$
$$r$$ (gemeinsames Verhältnis)$$=3$$
$$n$$ (Gesamtzahl der Terme)$$=5$$.

Dies ergibt $$s=1\left(\left(1-3^5\right)/\left(1-3\right)\right)$$, welches gelöst $$s=121$$ ergibt.