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Eigenschaften von Parabeln

Parabel

Eine Parabel ist eine Kurve, die aus allen Punkten eines Graphen besteht, die den gleichen Abstand von einem bestimmten Punkt, dem Fokus, wie von einer bestimmten Linie, der Direktrix, haben.

definition-und-eigenschaften-parabel

Wichtige Konzepte:

Standardform

Standardform einer horizontalen Parabel: $x = a y^{2} + b y + c$ ; wenn $a < 0$ , dann öffnet die Parabel nach links; wenn $a > 0$ , dann öffnet die Parabel nach rechts.
Standardform einer vertikalen Parabel: $y = a x^{2} + b x + c$ ; wenn $a < 0$ , dann öffnet die Parabel nach unten wie ein Stirnrunzeln; wenn $a > 0$ , dann öffnet die Parabel nach oben wie ein Lächeln.

Scheitelform
Der Scheitel einer Parabel wird in der Regel durch

h

(für die x-Koordinate) und

k

(für die y-Koordinate) dargestellt, die mit Hilfe der Scheitelform ermittelt werden können. In der Scheitelform sowohl für horizontale als auch für vertikale Parabeln repräsentiert

a

eine Spiegelung über die x-Achse und/oder eine vertikale Streckung oder Stauchung,

h

stellt eine horizontale Verschiebung (eine Verschiebung nach links oder rechts) und

k

eine vertikale Verschiebung (eine Verschiebung nach oben oder unten) dar.

Scheitelform einer horizontalen Parabel: $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ; wenn $a < 0$ , dann befindet sich der Scheitelpunkt auf der rechten Seite und die Parabel öffnet nach links; wenn $a > 0$ , dann befindet sich der Scheitelpunkt auf der linken Seite und die Parabel öffnet nach rechts.
Scheitelform einer vertikalen Parabel: $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ; wenn $a < 0$ , dann ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt; wenn $a > 0$ , dann ist der Scheitelpunkt der niedrigste Punkt.

Punkte

Scheitel $(h, k)$ : Der Ursprungspunkt einer Parabel, der zwischen Direktrix und Fokus liegt. Mit der Scheitelform (siehe Scheitelform) können der Scheitel von horizontalen und vertikalen Parabeln bestimmt werden.
Fokus $(h \pm p, k) (h, k \pm p)$ : Der Fokus einer Parabel ist ein Punkt, der innerhalb der Kurve der Parabel liegt, um den sich die Parabel biegt. Die Abstände vom Fokus und der Direktrix zu jedem Punkt auf der Hyperbel sind gleich.

Linien, Liniensegmente und Achsen

Symmetrieachse: Eine Linie, die durch den Scheitel der Parabel verläuft, und zwei kongruente Hälften bildet.
Direktrix: Eine Linie, die senkrecht zur Symmetrieachse der Parabel verläuft und parallel zu ihrem Latus rectum ist. Der Abstand vom Scheitel der Parabel zur Direktrix ist genauso groß wie der Abstand vom Scheitel der Parabel zum Fokus.
Fokusabstand $(p)$ : Der Abstand zwischen Scheitel und Fokus der Parabel. Dieser Abstand entspricht dem Abstand zwischen Scheitel und Direktrix der Parabel.
Latus rectum $(4 p)$ : Ein Liniensegment im Inneren der Parabel, das durch den Fokus der Parabel verläuft und senkrecht zur Symmetrieachse der Parabel ist. Die Länge des Latus rectum ist viermal der Fokusabstand der Parabel und kann als $4 p$ ausgedrückt werden.