Tiger Algebra-Rechner

Eigenschaften von Ellipsen

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte auf einer Ebene, deren Abstände von zwei festen Punkten, auch Fokus genannt, immer eine konstante Länge haben, die der Länge der Hauptachse der Ellipse entspricht.
Zum Beispiel, sagen wir, wir haben eine Hauptachse, die

12

Einheiten lang ist. Die Brennpunkte der Ellipse liegen immer auf der Hauptachse. Die Ellipse selbst würde durch gedachte Linien von beiden Brennpunkten zu einem Punkt auf der Ellipse gebildet, so dass ihre Gesamtlängen

12

entsprechen, der Länge der Hauptachse. Die Längen der Linien könnten

6

und

6

4

und

8

1.5

und

10.5

, oder buchstäblich jede Kombination von positiven rationalen Zahlen, die zu

12

addieren, sein, von denen es unendlich viele gibt.
definition

Standardform

Standardform einer horizontalen Ellipse: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$
Standardform einer vertikalen Ellipse: $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Anmerkung: Die Standardgleichung einer Ellipse besteht aus zwei Brüchen, bei denen

a^{2}

der größere der beiden Nenner und

b^{2}

der kleinere der beiden Nenner ist. Die Standardform einer Ellipse verlangt, dass die rechte Seite der Gleichung

1

entspricht.

horizontal

Punkte

Zentrum $(h, k)$ : Der Punkt im Zentrum einer Ellipse. $h$ stellt die x-Koordinate und $k$ die y-Koordinate dar.
Scheitelpunkte: Die Schnittpunkte der Hauptachse mit der Ellipse.
Ko-Scheitelpunkte: Die Schnittpunkte der Nebenachse mit der Ellipse.

Linien, Strecken und Achsen

Die Hauptachse $(2 a)$ : Die längere der beiden Achsen, die eine Ellipse bilden. Sie verläuft von einer Seite der Ellipse, durch ihr Zentrum, zur anderen Seite der Ellipse an ihrer breitesten Stelle.
Die Nebenachse $(2 b)$ : Die kürzere der beiden Achsen, die eine Ellipse bilden. Sie verläuft senkrecht zur Hauptachse, von einer Seite der Ellipse, durch ihr Zentrum, zur anderen Seite der Ellipse.
Semi-Hauptachse $(a)$ : Die halbe Länge der Hauptachse.
Semi-Nebenachse $(b)$ : Die halbe Länge der Nebenachse.
Fokusabstand $(f)$ : Der Abstand vom Zentrum einer Ellipse zu einem ihrer Brennpunkte. $f = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
Fokalparameter $(p)$ : Der Abstand von einem Brennpunkt zur entsprechenden Direktrix. $p = \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Direktrix: Zwei Linien außerhalb der Ellipse, die senkrecht zur Hauptachse verlaufen und zusammen mit den Brennpunkten die Ellipse definieren.
Bei einer horizontalen Ellipse: $x = h \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Bei einer vertikalen Ellipse: $y = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ .
Latus Rectum: Die Linienabschnitte, die senkrecht zur Hauptachse verlaufen, durch die Brennpunkte gehen, so dass ihre Endpunkte auf der Ellipse liegen. Ihre Längen entsprechen $\frac{2 \cdot b^{2}}{a}$ .

Andere Eigenschaften

Flächeninhalt: $π \cdot a \cdot b$
Exzentrizität $(e)$ : Ein Maß für die Ausdehnung einer Ellipse, definiert durch folgendes Verhältnis: 1. Der Abstand vom Zentrum zu einem der Brennpunkte zu 2. Der Abstand vom Zentrum zu einem der Scheitelpunkte: $\frac{\sqrt{(a^{2} - b^{2})}}{a}$
Die Exzentrizität einer Ellipse liegt immer zwischen $0$ und $1 (0 < e < 1)$ .

Zuletzt gelöste verwandte Übungsaufgaben

1 »