সমাধান - উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্যসমূহ

$$a$$ উপমান্ডলের বৃহত্তম ব্যাসার্ধটি উপস্থাপন করে, যেটি মূল অক্ষের অর্ধেক।
এটিকে সেমি-মেজর অক্ষ বলা হয়।
$$a$$ এর মান খুঁজে পেতে, উপমান্ডলের উল্লম্ব মানক ফর্ম ব্যবহার করুন:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$
$$a^2=9$$
সমীকরণের উভয় পাশের বর্গমূল নিন:
$$a=3$$

মনে রাখুন, $$a$$ একটি দূরত্ব উপস্থাপন করে, তাই এর কেবল একটি ইতিবাচক মান আছে।

একটি উল্লম্ব উপমান্ডলে, মূল অক্ষ y-অক্ষ পরাল্লেল চলে এবং উপমান্ডলের শীর্ষগুলির মাধ্যমে চলে। কেন্দ্রের y-নির্দেশাংক ($$k$$) থেকে $$a$$ যোগ এবং বিয়োগ করে শীর্ষগুলিটি খুঁজে বের করুন।

কেন্দ্রের y-সহনির্দেশ ($$k$$)-এ $$a$$ যোগ করে শীর্ষ বিন্দু_1 খুঁজে পেতে:
শীর্ষ বিন্দু_1: $$\left(h,k+a\right)$$
কেন্দ্র: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$a=3$$
শীর্ষ বিন্দু_1: $$\left(1,-2+3\right)$$
শীর্ষ বিন্দু_1: $$\left(1;1\right)$$

কেন্দ্রের y-সহনির্দেশ ($$k$$) থেকে $$a$$ বিয়োগ করে শীর্ষ বিন্দু_2 খুঁজে পেতে:
শীর্ষ বিন্দু_2: $$\left(h,k-a\right)$$
কেন্দ্র: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$a=3$$
শীর্ষ বিন্দু_2: $$\left(1,-2-3\right)$$
শীর্ষ বিন্দু_2: $$\left(1;-5\right)$$

$$b$$ ব্রিতের ছোট রেডিয়াস প্রতিষ্ঠান করে, যা অর্ধেক প্রতিষ্ঠান প্রতিষ্ঠান করে। এটি সেমি-মাইনর অক্ষ বলে।
$$b$$ এর মান খুজে পেতে উদ্দিষ্ট ব্রিতের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম ব্যবহার করুন:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$
$$b^2=4$$
সমীকরণের উভয় পাশে বর্গমূল নিন:
$$b=2$$
কারণবশত: বি একটি দূরত্ব প্রতিষ্ঠান করে, এর কেবল ধনাত্মক মান আছে।

একটি উল্লম্ব ব্রিতে, মাইনর অক্ষ x-অক্ষের সমানান্তর হয় এবং ব্রৃত্তের সহ-শীর্ষগুলি দিয়ে যায়।
কেন্দ্রের x-সহনির্দেশের থেকে {$$b$$} যোগ এবং বিয়োগ করে সহ-শীর্ষগুলি খুঁজে নিন।

কেন্দ্রের x-সহনির্দেশের থেকে $$b$$ যোগ করে সহ-শীর্ষ_1 খুঁজে পেতে:
সহ-শীর্ষ_1: $$\left(h+b,k\right)$$
কেন্দ্র: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$b=2$$
সহ-শীর্ষ_1: $$\left(1+2,-2\right)$$
সহ-শীর্ষ_1: $$\left(3;-2\right)$$

কেন্দ্রের x-সহনির্দেশের থেকে $$b$$ বিয়োগ করে সহ-শীর্ষ_2 খুঁজে পেতে:
সহ-শীর্ষ_2: $$\left(h-b,k\right)$$
কেন্দ্র: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$b=2$$
সহ-শীর্ষ_2: $$\left(1-2,-2\right)$$
সহ-শীর্ষ_2: $$\left(-1;-2\right)$$

ফোকাল দৈর্ঘ্য ব্রিতের কেন্দ্র থেকে প্রতিটি ফোকাল বিন্দুর দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে এবং সাধারণত $$f$$ দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়।

$$f$$ খুঁজে পাওয়ার জন্য সূত্র ব্যবহার করুন:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
সূত্রে $$a^2$$ এবং $$b^2$$ প্রবেশ করান এবং সরলীকরণ করুন:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2.236$$

$$f$$ একটি দূরত্ব প্রতিষ্ঠান, তাই এর মান শুধু ইজেপ্টিভ হয়।

একটি উল্লম্ব বৃত্তাবস্থায়, মেজার অক্ষ আনুভূমিকভাবে y-অক্ষের সাথে দৌড়ায় এবং foci এর মাধ্যমে।
যুক্তি খুঁজে পাওয়ার জন্য y-নির্দেশাংক $$\left(k\right)$$ থেকে $$f$$ যোগ এবং বিয়োগ করুন।

দৃষ্টিপথ_1 খুঁজে পেতে, কেন্দ্রের y-নির্দেশাংক $$\left(k\right)$$ এ $$f$$ যোগ করুন:
দৃষ্টিপথ_1: $$\left(h,k+f\right)$$
কেন্দ্র: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=2.236$$
দৃষ্টিপথ_1: $$\left(1,-2+2.236\right)$$
দৃষ্টিপথ_1: $$\left(1;0.236\right)$$

ফোকাস_2 খুঁজে পেতে, কেন্দ্রের y-নির্দেশাংক $$\left(k\right)$$ থেকে $$f$$ বিয়োগ করুন:
ফোকাস_2: $$\left(h,k-f\right)$$
কেন্দ্র: $$\left(h,k\right)=\left(1;-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=2.236$$
ফোকাস_2: $$\left(1,-2-2.236\right)$$
ফোকাস_2: $$\left(1;-4.236\right)$$

অ্যালিপসির ক্ষেত্রফল খুঁজতে সূত্রটি ব্যবহার করুন:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
সূত্রে $$a$$ এবং $$b$$ প্লাগ করুন এবং সহজভাবে করুন:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

ক্ষেত্রফল $$6\pi$$ হয়

x-ইন্টারসেপ্ট(সমূহ) খুঁজে পেতে, অ্যালিপসির মানক সমীকরণে $$y$$ এর জন্য $$0$$ প্লাগ করুন এবং পরিণত প্রকৌণিক সমীকরণের জন্য $$x$$ সমাধান করুন।
প্রকৌণিক সমীকরণের একটি ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা দেখতে এখানে ক্লিক করুন।

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{9}=1$$

$$x_1=2.491$$

$$x_2=-0.491$$

y-ইন্টারসেপ্ট(সমূহ) খুঁজে পেতে, অ্যালিপসির মানক সমীকরণে $$x$$ এর জন্য $$0$$ প্লাগ করুন এবং পরিণত প্রকৌণিক সমীকরণের জন্য $$y$$ সমাধান করুন।
প্রকৌণিক সমীকরণের একটি ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা দেখতে এখানে ক্লিক করুন।

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$

$$y_1=0.598$$

$$y_2=-4.598$$

ভ্রমণগতি খুঁজে পেতে সূত্রটি ব্যবহার করুন:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
সূত্রে প্লাগ করুন $$a^2$$, $$b^2$$ এবং $$a$$:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2.236}{3}$$

$$0.745$$

বিলক্ষণতা বরাবর $$0.745$$