টাইগার এলজেব্রা ক্যালকুলেটর

জ্যামিতিক ধারা, বা জ্যামিতিক সিরিজ বা জ্যামিতিক অগ্রগতি, হলো একটি সংখ্যা সেট যা দ্বারা গঠিত হয় প্রতিটি পূর্ববর্তী সংখ্যা নিয়ে একটি ধ্রুব দ্বারা গুণ। প্রতিটি ক্রমাগামী শব্দ দ্বারা গুণিয়ে যে কারণটি নেওয়া হয় তাকে সাধারণ অনুপাত বলা হয় কারণ এটি সেটের সমস্ত শব্দের জন্য সাধারণ। সাধারণ অনুপাত $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$ সমান হতে পারে না।
জ্যামিতিক ধারার মানক রূপ প্রকাশ করা যেতে পারে:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^4...$$ যেখানে:

• $$a$$ প্রথম পদটি প্রতিষ্ঠাপন করে এবং এটি কখনওই $$a_1$$ হিসাবে লেখা হয়।
• $$r$$ সাধারণ অনুপাতটি প্রতিষ্ঠাপন করে।

Example: যদি ধারাটির প্রথম পদ $$1$$ এবং সাধারণ অনুপাত $$3$$ হয়, তবে ক্রমাগামী পদগুলি পূর্ববর্তী পদ দ্বারা 3 এর গুন দ্বারা পাওয়া যেতে পারে, এবং ধারাটি এর মতো দেখাবে:
$$1,3,9,27,81...$$
যা এভাবেও লেখা যেতে পারে:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^4...$$

Formulas
Finding any term ($$a_n$$) in a geometric sequence:
$$a_n=a·r^{\left(n-1\right)}$$

• $$a$$ প্রথম পদটি প্রতিষ্ঠাপন করে।
• $$n$$ একটি ধারায় পদের অবস্থানটি প্রতিষ্ঠাপন করে। একটি ধারায় $$n$$ সংখ্যক পদ থাকলে, উদাহরণস্বরূপ, এটি এভাবে লেখা হত:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^4...a·r^{\left(n-1\right)}$$ যেখানে শেষ পদটি $$n-1$$ পাওয়ারে উন্নীত হয় (কারণ প্রথম পদটি $$0$$ পাওয়ারে উন্নীত হয়)।
• $$r$$ সাধারণ অনুপাতটি প্রতিষ্ঠাপন করে।

Example: To find the next term in $$1,3,9,27,81...$$ which would be the 6th term, we would plug the following into the general term formula, $$a_n=a·r^{\left(n-1\right)}$$:
$$a$$ (first term)$$=1$$
$$r$$ (common ratio)$$=3$$
$$n$$ (term number)$$=6$$.

This would give us $$a_6=1·3^{\left(6-1\right)}$$, which we could solve to get $$a_6=243$$. So, our sequence would be: $$1,3,9,27,81,243...$$

Finding the sum of all the terms in a geometric sequence:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ is the sum of the terms in the sequence.
• $$a$$ represents the first term.
• $$n$$ represents the position of a term in the sequence.
• $$r$$ represents the common ratio.

Example: To find the sum of $$1,3,9,27,81$$ we plug the following into the sum formula, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (first term)$$=1$$
$$r$$ (common ration)$$=3$$
$$n$$ (total number of terms)$$=5$$.

This would give us $$s=1\left(\left(1-35\right)/\left(1-3\right)\right)$$, which we could solve to get $$s=121$$.