برنامج Tiger Algebra Calculator
أنظمة المعادلات الخطية
المعادلات الخطية
المعادلة الخطية هي المعادلة التي تمثل خطًا مستقيمًا. تحتوي عادة على ثوابت ومتغيرات، التي لا يمكن أن تحتوي على أسس أو جذور، وعادة ما يتم كتابتها بإحدى الطرق التالية:
صيغة النقطة-الميل
على سبيل المثال:
صيغة الميل-التقاطع
على سبيل المثال:
الشكل القياسي
على سبيل المثال:
مهم جدا: في هذا الشكل، لا يمكن أن يكون و كلاهما صفراً () .
على الرغم من أن هذه المعادلات قد تبدو مختلفة، إلا أنها تمثل خطاً واحداً فعلاً. إذا كان لديك الوصول إلى آلة حاسبة لرسم الرسوم البيانية، حاول رسم كل معادلة ومقارنة النتائج. ستكون الرسوم البيانية كلها متشابهة!
أنظمة المعادلات الخطية
أحيانا ما نكون قد أعطينا معادلتين أو أكثر يمكن أن تصبح صحيحة بالمتغير نفسه أو المتغيرات.
على سبيل المثال:
عندما و ، كلا المعادلتين صحيحتين.
تسمى هذه بأنظمة المعادلات الخطية ويمكننا العثور على متغيراتها باستخدام أحد طريقتين: الحذف والتعويض.
الحل بالقضاء
الخطوات الرئيسية لحل نظام من المعادلات الخطية بواسطة الحذف:
1.أعد كتابة المعادلات بحيث تكون المتغيرات في نفس الترتيب:
ستصبح
2. ضرب واحدة أو كلا المعادلتين بأرقام غير صفرية التي ستجعل مجموعة من المصطلحات تلغي بعضها البعض إذا تمت إضافتها أو طرحها:
ستصبح
3. أضف أو اطرح المعادلات للقضاء على المتغير المشترك لديهم:
4. حل المعادلة لعزل المتغير المتبقي:
5. أدخل هذا المتغير في أحد المعادلات الأصلية وبسطه لعزل المتغير المتبقي:
المتغيرات التي ترضي كلا المعادلتين هي و أو
6. كرر حسب الضرورة، مثل عندما يكون هناك أكثر من معادلتين خطيتين في النظام.
الحل بالتعويض
الخطوات الرئيسية لحل نظام المعادلات الخطية بواسطة التعويض:
1.حل لـ أو في إحدى المعادلات عن طريق عزل المتغير:
2. أدخل المتغير الناتج في المعادلة الأخرى وحل:
3. أدخل المتغير الناتج في إحدى المعادلات الأصلية وحل:
المتغيرات التي ترضي كلا المعادلتين هي و أو
4. كرر حسب الضرورة، مثل عندما يكون هناك أكثر من معادلتين خطيتين في النظام.
هناك ثلاثة أنواع ممكنة للحلول لأنظمة المعادلات الخطية:
لا حل : لا توجد متغيرات يمكن أن تجعل كل المعادلات في النظام صحيحة. على الرسم البياني، الخطوط التي تمثل المعادلات لا تتقاطع. إذا كانت معادلات خطية، فإن هذه الخطوط تكون متوازية.
حل واحد : هناك مجموعة واحدة من المتغيرات التي يمكن أن تجعل كل المعادلات في النظام صحيحة. على الرسم البياني، تتقاطع الخطوط التي تمثل المعادلات مرة واحدة. النقطة التي يتقاطعون فيها هي الحل للنظام.
حلول لا نهائية : هناك عدد لا نهائي من المتغيرات التي يمكن أن تجعل كل المعادلات في النظام صحيحة. يحدث هذا عندما تكون جميع المعادلات في النظام متشابهة أو هي أشكال مختلفة من المعادلة نفسها وبالتالي تمثل نفس الخط.
مصطلحات أخرى ذات صلة:
المعادلات المتساوية : هما أو أكثر من المعادلات تكون متساوية عندما يكون لديها حل واحد أو حلول لا نهائية. على سبيل المثال: و متساويتين لأن لديهما حل واحد هو .
المعادلات غير المتساوية : هما أو أكثر من المعادلات تكون غير متساوية عندما لا يكون لديها أي حلول مشتركة، مما يعني أن خطوطها ليس لديها أي نقاط مشتركة. خطوط المعادلات غير المتساوية على البعض تكون متوازية. على سبيل المثال: و غير متساويتين لأن لديه قيمة مختلفة في كل معادلة، مما يعني أن المعادلات ليست لديها أي حلول مشتركة.
المعادلات المستقلة : هما أو أكثر من المعادلات تكون مستقلة عندما تمثل خطوط مختلفة.
المعادلات المتعلقة : هما أو أكثر من المعادلات تكون متعلقة عندما تمثل نفس الخط، مما يعطي كل معادلة حلول لا نهائية. المعادلات المتعلقة تحدث عندما يتم كتابة المعادلة بأشكال مختلفة. على سبيل المثال: و تمثل نفس الخط وبالتالي متعلقتين.
المعادلة الخطية هي المعادلة التي تمثل خطًا مستقيمًا. تحتوي عادة على ثوابت ومتغيرات، التي لا يمكن أن تحتوي على أسس أو جذور، وعادة ما يتم كتابتها بإحدى الطرق التالية:
صيغة النقطة-الميل
على سبيل المثال:
صيغة الميل-التقاطع
على سبيل المثال:
الشكل القياسي
على سبيل المثال:
مهم جدا: في هذا الشكل، لا يمكن أن يكون و كلاهما صفراً () .
على الرغم من أن هذه المعادلات قد تبدو مختلفة، إلا أنها تمثل خطاً واحداً فعلاً. إذا كان لديك الوصول إلى آلة حاسبة لرسم الرسوم البيانية، حاول رسم كل معادلة ومقارنة النتائج. ستكون الرسوم البيانية كلها متشابهة!
أنظمة المعادلات الخطية
أحيانا ما نكون قد أعطينا معادلتين أو أكثر يمكن أن تصبح صحيحة بالمتغير نفسه أو المتغيرات.
على سبيل المثال:
عندما و ، كلا المعادلتين صحيحتين.
تسمى هذه بأنظمة المعادلات الخطية ويمكننا العثور على متغيراتها باستخدام أحد طريقتين: الحذف والتعويض.
الحل بالقضاء
الخطوات الرئيسية لحل نظام من المعادلات الخطية بواسطة الحذف:
1.أعد كتابة المعادلات بحيث تكون المتغيرات في نفس الترتيب:
ستصبح
2. ضرب واحدة أو كلا المعادلتين بأرقام غير صفرية التي ستجعل مجموعة من المصطلحات تلغي بعضها البعض إذا تمت إضافتها أو طرحها:
ستصبح
3. أضف أو اطرح المعادلات للقضاء على المتغير المشترك لديهم:
4. حل المعادلة لعزل المتغير المتبقي:
5. أدخل هذا المتغير في أحد المعادلات الأصلية وبسطه لعزل المتغير المتبقي:
المتغيرات التي ترضي كلا المعادلتين هي و أو
6. كرر حسب الضرورة، مثل عندما يكون هناك أكثر من معادلتين خطيتين في النظام.
الحل بالتعويض
الخطوات الرئيسية لحل نظام المعادلات الخطية بواسطة التعويض:
1.حل لـ أو في إحدى المعادلات عن طريق عزل المتغير:
2. أدخل المتغير الناتج في المعادلة الأخرى وحل:
3. أدخل المتغير الناتج في إحدى المعادلات الأصلية وحل:
المتغيرات التي ترضي كلا المعادلتين هي و أو
4. كرر حسب الضرورة، مثل عندما يكون هناك أكثر من معادلتين خطيتين في النظام.
هناك ثلاثة أنواع ممكنة للحلول لأنظمة المعادلات الخطية:
لا حل : لا توجد متغيرات يمكن أن تجعل كل المعادلات في النظام صحيحة. على الرسم البياني، الخطوط التي تمثل المعادلات لا تتقاطع. إذا كانت معادلات خطية، فإن هذه الخطوط تكون متوازية.
حل واحد : هناك مجموعة واحدة من المتغيرات التي يمكن أن تجعل كل المعادلات في النظام صحيحة. على الرسم البياني، تتقاطع الخطوط التي تمثل المعادلات مرة واحدة. النقطة التي يتقاطعون فيها هي الحل للنظام.
حلول لا نهائية : هناك عدد لا نهائي من المتغيرات التي يمكن أن تجعل كل المعادلات في النظام صحيحة. يحدث هذا عندما تكون جميع المعادلات في النظام متشابهة أو هي أشكال مختلفة من المعادلة نفسها وبالتالي تمثل نفس الخط.
مصطلحات أخرى ذات صلة:
المعادلات المتساوية : هما أو أكثر من المعادلات تكون متساوية عندما يكون لديها حل واحد أو حلول لا نهائية. على سبيل المثال: و متساويتين لأن لديهما حل واحد هو .
المعادلات غير المتساوية : هما أو أكثر من المعادلات تكون غير متساوية عندما لا يكون لديها أي حلول مشتركة، مما يعني أن خطوطها ليس لديها أي نقاط مشتركة. خطوط المعادلات غير المتساوية على البعض تكون متوازية. على سبيل المثال: و غير متساويتين لأن لديه قيمة مختلفة في كل معادلة، مما يعني أن المعادلات ليست لديها أي حلول مشتركة.
المعادلات المستقلة : هما أو أكثر من المعادلات تكون مستقلة عندما تمثل خطوط مختلفة.
المعادلات المتعلقة : هما أو أكثر من المعادلات تكون متعلقة عندما تمثل نفس الخط، مما يعطي كل معادلة حلول لا نهائية. المعادلات المتعلقة تحدث عندما يتم كتابة المعادلة بأشكال مختلفة. على سبيل المثال: و تمثل نفس الخط وبالتالي متعلقتين.