برنامج Tiger Algebra Calculator

التركيبة هي طريقة لترتيب العناصر من مجموعة عندما لا يكون ترتيب الترتيب مهمًا. مثال على ذلك هو اختيار ثلاثة أرقام عشوائية من قائمة من تسعة. لا يهم إذا اخترت $$1$$ ثم $$7$$ ثم $$4$$ أو إذا اخترت $$7$$ ثم $$1$$ ثم $$4$$.
التقليب هو طريقة لترتيب العناصر من مجموعة عندما يكون ترتيب الترتيب مهمًا. مثال على ذلك سيكون رمز القفل. إذا كان الرمز هو $$1,7,4$$، فلا يمكن إدخاله كـ $$1أو4أو7$$ أو $$4أو7أو1$$ أو أي ترتيب آخر.
طالما أن هناك أكثر من عنصر واحد في المجموعة، فسيكون هناك دائمًا عدد أكبر من التباديل مقارنة بالتركيبات.

يمكن أن تحدث كل من التوليفات والتبديلات مع أو بدون التكرار، مما يعني أنها إما تحتوي على عنصر واحد أو أكثر عدة مرات أو أنها لا تحتوي. على الرغم من أن هذا قد لا يبدو أنه سيحدث فرقًا كبيرًا، إلا أن تكرار العناصر في مجموعة يغير بشكل جذري الطريقة التي يجب أن نتعامل بها معها.

تدوينات يمثل
$$n$$ عادةً العدد الإجمالي للعناصر في مجموعة. يمثل
$$k$$ عادةً عدد العناصر في مجموعة فرعية محددة.
$$تمثلC$$ عادة التوليفات.
$$تمثلP$$ عادة التباديل.

$$تمثلP\left(n،k\right)$$ عدد التباديل المختلفة لمجموعة فرعية ($$k$$) من مجموعة أكبر ($$n$$) ويمكن أيضًا كتابتها على النحو التالي:
صورة مفقودة
$$C\left(n,k\right)$$ يمثل عدد التركيبات المختلفة لمجموعة فرعية ($$k$$) من مجموعة أكبر ($$n$$) ويمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي:
صورة مفقودة
يشار إلى هذا الترميز أحيانًا باسم "n Choose k".

الصيغ
نستخدم دالة المضروب عند حل التباديل والتوليفات.

التباديل مع التكرار
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
E.G: كم عدد التبديلات المختلفة لمجموعة فرعية من $$3$$ عناصر من إجمالي $$9$$ عناصر موجودة عندما يمكن أن يحدث التكرار؟
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

التباديل دون تكرار
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
مثال: كم عدد التبديلات المختلفة لمجموعة فرعية من $$3$$ عناصر من إجمالي $$9$$ عناصر موجودة عندما لا يمكن التكرار؟
$$P\left(9,3\right)=\frac{9‎!}{\left(9-3\right)!‎}=‎\frac{9!}{6!}‎=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

مجموعات مع التكرار
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
مثال: كم عدد التركيبات المختلفة لمجموعة فرعية من $$3$$ عناصر من إجمالي $$9$$ عناصر موجودة عندما يمكن أن يحدث التكرار؟
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

المجموعات بدون تكرار رابط إلى هذا التمرين
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
مثال: كم عدد التركيبات المختلفة لمجموعة فرعية من $$3$$ عناصر من إجمالي $$9$$ عناصر موجودة عندما لا يمكن التكرار؟
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$